46 Integrales COORDENADAS POLARES

Habilidades Representar puntos del plano en coordenadas polares. Deducir la relación entre el sistema cartesiano y el sistema polar. Reconocer y graficar ciertas curvas notables en coordenadas polares.

Coordenadas Rectangulares y y P (x, y) x x

Coordenadas Polares (r, θ) de un Punto P Emplea distancias y direcciones. r es la distancia de O a P. P (r, θ) θ es el ángulo entre el eje polar y el segmento OP. r θ es positivo si se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj. θ Eje Polar Polo θ en radianes.

Si r < 0, entonces P(r,θ) se define como el punto que se encuentra a |r| unidades del polo en la dirección opuesta a la que da θ. P(r,θ) θ P(-r,θ)

x y 1 En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene sólo una representación. En un sistema de coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones P(2, p/3) . 2 Es decir, el punto en coordenadas polares (r; θ), se representa también por y

9 De la grafica observe que: y x Conexión entre el sistema Polar y el sistema cartesiano De la grafica observe que: Si P es un punto cuyas coordenadas polares son (r ; θ) entonces, las coordenadas rectangulares (x ; y) de P serán: y x q r P(x ; y) P(r ; q) Estas ecuaciones permiten hallar las coordenadas cartesianas de un punto cuando se conocen las coordenadas polares. Para hallar las coordenadas r y θ cuando se conocen x e y, se usan las ecuaciones 9

x2 + y2 = 9 Gráficas de Ecuaciones Polares La grafica de una ecuación polar r = f(θ), o de manera más general F(r; θ), consta de los puntos P que tienen al menos una representación polar (r; θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Ejemplo: Trace la gráfica de la ecuación r = 3 x2 + y2 = 9 1 2 3 4 5 6

q = p/4 tan q = tan(p/4) x = 1 y x = y Ejemplo: Identificar y hacer la gráfica de la ecuación: q = p/4 y q = p/4 tan q = tan(p/4) q = p/2 q = p/4 q = 3p/4 x y = 1 x q = p q = 0 1 2 3 4 5 x = y q = 7p/4 q = 5p/4 q = 3p/2

¿La gráfica pasa por el polo? Resuelve: f() = 0. Si existe al menos un valor para el ángulo , la gráfica sí pasa por el polo (0; ) si no, la gráfica no pasa por el polo. ¿Cuales de las siguientes gráficas cuyas ecuaciones polares se dan, pasan por el polo? r = 2 sen r = 2 + sen

(r ; q) (r ; -q) o q -q Simetría Si una ecuación no cambia al sustituir θ por –θ, la gráfica es simétrica respecto al eje polar o (-r ; q) (r ; q) Si una ecuación no cambia al sustituir r por –r, la gráfica es simétrica respecto al polo. (r ; p-q) (r ; q) p - q -q Si una ecuación no cambia al sustituir θ por Π – θ, la gráfica es simétrica respecto a la recta vertical q = Π/2 (eje y)

Algunas curvas polares comunes Círculos Cardiodes En general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma

Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Ejercicios 10.3 Pág. 647 - 648