Funciones. Concepto de función Dominio e imagen de una función Gráfica de una función Gráficas de algunas funciones elementales Funciones definidas a trozos Operaciones con funciones Composición de funciones Función inversa Gráfica de la función inversa Gráfica de la función exponencial Gráfica de la función logarítmica Simetrías Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Funciones acotadas Funciones periódicas: Funciones trigonométricas

Concepto de función. Una función real f de variable real es una aplicación entre dos conjuntos reales A y B, tal que a cada x  A existe un solo y = f(x)  B. Y que escribimos simbólicamente f : A  ℝ  B  ℝ : x  f(x) Cuando se define solamente por f(x), se toma A = B = ℝ. Una función f, puede venir expresada mediante una expresión algebraica, por ejemplo f(x) = 2.x – 2, una tabla de valores (x,y) o un gráfica en el plano Ejemplo.- f : [0,1]  [0,1] : x  y = f(x) = x, es una función real de variable real, ya que el intervalo [0,1]  ℝ, y para cada x  ℝ, ! y = f(x)  [0,1]  ℝ

Dominio e imagen de función. Denominamos DOMINIO de una función f (Dom f) al conjunto de valores x para los cuales tiene sentido o está definida la función. Ejemplos: Si f(x) = (x -1) será, dom f = [1,+) Si f(x) = Área cuadrado de lado x menor que 2, será dom f = (0,2) Denominamos IMAGEN, RECORRIDO o RANGO de una función f (Im f) al conjunto de valores y = f(x) con x  Dom f. Ejemplos: Si f(x) = (x -1) será, Im f = [0,+) Si f(x) = Área cuadrado de lado x menor que 2, será Im f = (0,4)

Gráfica de función. Se denomina GRÁFICA de una función al conjunto de los puntos (x,y) tales que y = f(x). En la mayoría de los casos la GRÁFICA la podemos representar en el PLANO REAL, mediante una curva continua, discontinua o una nube de puntos, dependiendo de las características del Dom f y Im f

Gráfica de función. Ejemplo 1.- La gráfica de f(x) = (x-1) es:

Gráfica de función. Ejemplo 1.- La gráfica de f(x) = [x] = parte entera de x es:

Gráfica de función. Ejemplo 1.- La gráfica de f : N  N : n  1/ n es:

Gráficas de algunas funciones elementales. Ejemplos Parámetros. F. constante y = k k es una constante real. Dom f = R, Im f = {k} F. lineal y = m x m es la pendiente de la recta Si m = 0, Dom f = R, Im f = {0}. Si m  0, Dom f = R = Im f . F. afín y = m x + n m es la pendiente y n es la ordenada en el origen Parábola y = a x2 + b x + c a, b y c son números reales (a  0) Si a > 0, Dom f = R, Im f = [f(-b/2a),+) Si a < 0, Dom f = R, Im f = (-, f(-b/2a)] Funciones racionales y = b + k / ( x – a ) k es una constante real y a y b son números reales Dom f = R – {a}, Im f =R – {b} Funciones exponenciales y = a x a es un número real mayor que 0 y distinto de 1 Dom f = R, Im f =(0,+) Funciones potenciales y = x r y = x (1/r) r es un número real r es un número entero

Funciones definidas a trozos. Definir una función a trozos es construir una función a partir de trozos (habitualmente definidas en intervalos) de otras funciones. Ejemplos.- Representar gráficamente la función

Operaciones con funciones. Dadas dos funciones f(x) y g(x), podemos construir la función Suma de f y g: (f+g) (x) = f(x) + g(x), además Dom (f+g) = Dom f  Dom g Resta de f y g: (f-g) (x) = f(x) - g(x), además Dom (f-g) = Dom f  Dom g Producto de f y g: (f.g) (x) = f(x).g(x), además Dom (f.g) = Dom f  Dom g Cociente de f y g: (f/g) (x) = f(x)/g(x), siempre que g(x)  0. Dom (f.g) = Dom f  Dom g Ejemplos.- Si f(x) = 3 – x, g(x) = 1 / x, entonces: (f+g) (x) = (-x2+3x+1) / x Si f(x) = 3 + x, g(x) = 2 x, entonces: (f.g) (x) = 2x2+6x Si f(x) = 3x2+x, g(x) = x, entonces: (f/g) (x) = 3x+1

Composición de funciones. Dadas dos funciones f(x) y g(x), tal que Im f  Dom g, entonces podemos definir la COMPOSICIÓN de funciones f y g (g compuesta con f), definida como: (g  f) (x) = g(f(x)), además, Dom (g  f) = Dom f Ejemplo.- Si f(x) = x2 + 1, g(x) = 1/x, entonces: (f  g) (x) = f(g(x)) = f(1/x) = (1/x2) + 1 (g  f) (x) = g(f(x)) = g(x2 + 1) = 1/(x2+1) A la función i(x) = x, se le denomina función identidad, que además para cualquier función f(x) cumple: (f  i) (x) = (i  f) (x) = f(x)

Función inversa. Dada la función f, se denomina FUNCIÓN INVERSA (cuando existe) f-1(x) tal que cumple: (f  f-1) (x) = (f-1  f) (x) = i(x) = x Ejemplo.- Si f(x) = 3x+5. Tomando y = 3x+5, intercambiando x por y en dicha expresión, x = 3y+5, y despejando y se obtiene y = (x-5)/3, luego: f-1 (x) = (x-5)/3 Que además, podemos comprobar que se cumple: (f  f-1) (x) = f((x-5)/3) = 3.[(x-5)/3] + 5 = x (f-1  f) (x) = f-1(3x+5) = [(3x+5)-5]/3 = x Una función f tiene inversa, cuando f es INYECTIVA, es decir cuando cumple que si a  b entonces f(a)  f(b)

Gráfica de función inversa. Dada una función f(x), si existe f-1(x), teniendo en cuenta que para cada par de puntos (x,y) de la gráfica f, (y,x) pertenece a la gráfica de f-1, se cumplirá que la gráfica f-1(x) será simétrica respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante (es decir de la recta y = x) Ejemplo.- Si f(x) = 2x, f-1(x) log2 x

Gráfica de función exponencial. La función exponencial es de la forma f(x) = ax, siendo a > 0. Hay que observar que si a = 1, es la función f(x) = 1 Si a > 1, f(x) es creciente y si a < 1, f(x) es decreciente. En particular si a = e , se denomina exponencial natural (e = lim n (1+1/n)n  2,71828818… ) Ejemplos.-

Gráfica de función logarítmica. La función logarítmica en base a es la función inversa de la función exponencial de base a, por lo que sus gráficas serán simétricas respecto de la recta y = x Ejemplos.-

Simetrías. Una función f(x) es PAR si es simétrica con respecto al eje Y, es decir si para cualquier x se cumple f(x) = f(-x) Una función f(x) es IMPAR si es simétrica con respecto del origen, es decir si para cualquier x se cumple f(x) = - f(-x) Ejemplo.- f(x) = x2 es una función PAR, mientras que f(x) = x3 es impar

Crecimiento y decrecimiento. Una función f es CRECIENTE en (a,b) cuando para cualquier par de puntos p, q del intervalo, tal que p < q, se cumple f(p) < f(q) Una función f es DECRECIENTE en (a,b) cuando para cualquier par de puntos p, q del intervalo, tal que p < q, se cumple f(p) > f(q) Ejemplo.- La función f(x) = x2 es decreciente en (-,0) y creciente en (0,+)

Máximos y mínimos. La función f tiene un MÁXIMO RELATIVO en x0, si existe un intervalo abierto I al que pertenece x0, tal que para todo x de este intervalo f(x)  f(x0) La función f tiene un MÍNIMO RELATIVO en x0, si existe un intervalo abierto I al que pertenece x0, tal que para todo x de este intervalo f(x)  f(x0) La función f tiene MÁXIMO ABSOLUTO en x0, si para todo x es f(x)  f(x0) La función f tiene MÍNIMO ABSOLUTO en x0, si para todo x es f(x)  f(x0) Ejemplos.- La función f(x) = x2 tiene un mínimo relativo y absoluto en x = 0. La función f(x) = -x2 tiene un máximo relativo y absoluto en x = 0

Funciones acotadas. Una función f está ACOTADA SUPERIORMENTE, si existe un número k, tal que f(x)  k para todo x del dominio de la función. Una función f está ACOTADA INFERIORMENTE, si existe un número k, tal que f(x)  k para todo x del dominio de la función. Ejemplo.- La función f(x) = x2 está acotada inferiormente, ya que f(x)  0, para todo x, mientras que la función f(x) = x3 no está acotada ni inferiormente ni superiormente

Funciones periódicas. Funciones trigonométricas. Una función f es periódica de periodo T si f(x+T) = f(x) para todo x Ejemplos de funciones periódicas.- Funciones. Ejemplos (ver gráficas) Trigonométricas y = sen x periodo T = 2, Dom y = R, Im = [-1,1] y = cos x periodo T = 2, Dom y = R, Im = [-1,1] y = tag x periodo T = , Dom y = R – {/2 +k : k Z} Im = R

Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/descartes/web/) En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página Matemática de GAUSS del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/gauss/web) En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/matematicas.htm) En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) (http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/) En la siguiente diapósitiva