FUNCIONES. FUNCIONES ELEMENTALES.. FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL UNA FUNCIÓN f REAL DE VARIABLE REAL, es una correspondencia entre dos conjuntos.

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1 FUNCIONES. FUNCIONES ELEMENTALES.

2 FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL UNA FUNCIÓN f REAL DE VARIABLE REAL, es una correspondencia entre dos conjuntos reales A y B, que asocia a cada elemento x de A un solo elemento y de B. Y se simboliza por: f : A  B : x  y = f (x) A los elementos x  A, se le denomina VARIABLE INDEPENDIENTE, y a los elementos y  B VARIABLE DEPENDIENTE. La ECUACIÓN de la FUNCIÓN y = f(x), es la relación algebraica entre x e y, donde: Dominio de f = D f = { x  A : existe y  B tal que y = f(x) } Imagen de f = R f = { y  B : existe x  A tal que y = f(x) } Si x es tal que y = f (x), y es la IMAGEN de x, y x es la ANTIMAGEN de y Si una función viene definida solamente por su ecuación y = f(x), el DOMINIO de f, será el conjunto más amplio de los números reales, para los cuales está definida f

3 Ejemplos:

4 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Dada una función real f (x), al conjunto de puntos del plano Cartesiano: { ( x, f(x) ) : x  D f } Se le denomina GRÁFICA de la función f. Es decir, la GRÁFICA de una función son todos los puntos del plano cartesiano, cuyas coordenadas son (x, f(x) ) “ ó ( x, y ) donde y = f(x) “. El conjunto de la abscisas lo compone el Domino de f, y el conjunto de las ordenadas el Recorrido de f

5 Ejemplo: (-3, f(-3) ) = ( -3, 0 ) Eje de ordenadas Eje de abcisas (-5, f(-5) ) = ( -3, 4 ) (0, f(0) ) = ( 0, 9 )

6 PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES Una función f (x) es MONÓTONA CRECIENTE en un intervalo (a,b) cuando para cada x, y  (a,b) si x < y, entonces f (x) < f (y). Una función f (x) es MONÓTONA DECRECIENTE en un intervalo (a,b) cuando para cada x, y  (a,b) si x f (y). Una función f (x) es MONÓTONA en un intervalo (a,b) cuando es MONÓTONA CRECIENTE ó MONÓTONA DECRECIENTE. Una función f (x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en un punto M, cuando existe un intervalo (a,b) tal que M  (a,b) y para cada x  (a,M) o  (M,b) será f(x) < f(M) Una función f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en un punto M, cuando existe un intervalo (a,b) tal que M  (a,b) y para cada x  (a,M) o  (M,b) será f(x) > f(M)

7 Ejemplo. La siguiente función Es monótona creciente en (0,2) y en (5,8) y monótona decreciente en (2,5). Tiene un máximo relativo en x = 2, y x = 8, y tiene un mínimo relativo en x = 5.

8 PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES Una función f (x) es PAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE OY, cuando para cada x se cumple que f (x) = f (-x). Una función f (x) es IMPAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN DE COORDENADAS, cuando para cada x se cumple que f (x) = - f (-x). Una función f (x) es CONTINUA en un intervalo, si su gráfica es continua en dicho intervalos. Los puntos en los que se interrumpe la gráfica, se denominan PUNTOS de DISCONTINUIDAD.

9 Ejemplo. La función Es una función PAR La función Es una función IMPAR

10 Ejemplo. La siguiente función Es continua en (-3,0) y en (0,1) y es discontinua en x = 0

11 FUNCIONES POLINÓMICAS ELEMENTALESFUNCIONES POLINÓMICAS ELEMENTALES. Las funciones polinómicas son de la forma: f (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 Donde, a n, a n - 1, …, a 2, a 1, a 0 son números reales. La función f (x) = a, con a un número real, se denomina función CONSTANTE. La función f (x) = a x, con a un número real, se denomina función LINEAL.f (x) = a xfunción LINEAL La función f (x) = a x + b, con a y b números reales, se denomina función AFÍN. La función f (x) = a x 2 + b x + c, con a, b y c números reales, se denomina función CUADRÁTICALa función f (x) = a x 2 + b x + c, con a, b y c números reales, se denomina función CUADRÁTICA.

12 Ejemplos Gráficos de funciones polinómicas

13 FUNCIONES RACIONALES ELEMENTALES. Las funciones racionales son de la forma: P(x) f(x) = ------ con P(x) y Q(x) (grado(Q)  1) polinomios. Q(x) Estas funciones se define para todos los números reales que no se anule el denominador. Ejemplos:

14 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. Las funciones de proporcionalidad inversa, son funciones racionales de la forma: k f(x) = ------ con k un número constante. x Estas funciones tiene por DOMINIO todos los números reales salvo el 0. Ejemplo:

15 TRASLACIÓN DE FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. Las gráfica de la función de proporcionalidad inversa, de la forma: k f(x) = b + ------ con k un número constante. x - a Es la traslación de la gráfica de la función k/x mediante el vector (a,b) Ejemplo: Hoja de cálculo, en la que se puede variar a, b y k, de la función: k f(x) = b + ------ x - a

16 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES. Otras funciones elementales que estudiaremos en cursos posteriores son: Las funciones exponenciales.Las funciones exponenciales Las funciones logarítmicasLas funciones logarítmicas. Las funciones trigonométricasLas funciones trigonométricas.

17 FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS En ocasiones, nos interesa estudiar funciones definidas por intervalos. Ejemplo:

18 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ ) En la siguiente diapósitiva

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22 Mas ayuda del tema de la página Matemática de GAUSS del Ministerio de Educación y ciencia ( http://recursostic.educacion.es/gauss/web ) En la siguiente diapósitiva

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26 Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/m atematicas.htm) En la siguiente diapósitiva

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28 Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) ( http://docentes.educacion.navarra.es/ msadaall/geogebra/) En la siguiente diapósitiva

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