Tema VI Límites y continuidad MATEMÁTICAS A. CS II Tema VI Límites y continuidad @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

LÍMITES INFINITOS EN UN PUNTO Tema 6.3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

Apuntes Matemáticas 2º BCS Límites infinitos Sea la función de proporcionalidad inversa: f(x) = k / x , donde k es un número real distinto de cero. Cuando hallamos el siguiente límite: Lím f(x) = lím (k / x) = k / 0 = ± oo x0 x0 Vemos que el resultado, en un punto finito, es infinito. Si el resultado es ± oo, no existe límite en dicho punto. El signo del infinito dependerá del signo de k, no de su valor. Lo mismo ocurrirá si hallamos sus límites laterales, a la izquierda y derecha de x=0. Cuanto más próximo a cero se encuentre el valor de x, más grande se hará el valor de la función. Gráficamente el resultado de dicho límite es una recta vertical, llamada ASÍNTOTA VERTICAL, con la cual la gráfica tiende a juntarse. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

Apuntes Matemáticas 2º BCS LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO EJEMPLO 1 Si representamos la función: x 3 f(x)= ------ = 1 + ------- x – 3 x - 3 Hipérbola de centro (3, 1) Vemos que en x=3 la función no existe. Sin embargo existe en las proximidades de x=3, donde la gráfica tiende a juntarse con una recta vertical. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x=3. Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de x=3 Y 1 0 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

Apuntes Matemáticas 2º BCS Para ver cómo se comporta la función en las proximidades de x=3 habrá que calcular sus límites laterales: Límite por la derecha: x 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x3+ x - 3 +0 pues x vale algo más de 3. Límite por la izquierda: x 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x3- x - 3 - 0 pues x vale algo menos de 3. Los límites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una función en determinados puntos críticos. Y 1 0 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

Apuntes Matemáticas 2º BCS EJEMPLO 2 Queremos representar la función: f(x) = x / ( x2 - 4) Vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el valor de y es +/- 2 / 0 La función no existe en x=2 ni en x=-2 Sin embargo sí existe en las proximidades de dichos valores de x. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x1= 2 y otra en x2= - 2. Veamos su comportamiento en x = 2 x 2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x2+ x2 - 4 +0 x 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ------ = - oo x2- x2 - 4 - 0 Y -2 0 2 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

Apuntes Matemáticas 2º BCS Teníamos f(x) = x / ( x2 - 4) Veamos ahora su comportamiento en x = - 2 x - 2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x- 2+ x2 - 4 - 0 pues x vale algo más de – 2 y por tanto x2 < 4 x - 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x- 2- x2 - 4 + 0 pues x vale algo menos de – 2 y por tanto x2 > 4 Y -2 0 2 x Los límites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una función en determinados puntos críticos. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

Apuntes Matemáticas 2º BCS LÍMITES EN EL INFINITO Tema 6.4 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

Apuntes Matemáticas 2º BCS Límites en el infinito Sea la función de proporcionalidad inversa: f(x) = k / x , donde k es un número real distinto de cero. Cuando hallamos el siguiente límite: Lím f(x) = lím (k / (± oo)) = 0 x± oo x ± oo Vemos que el resultado, en un punto infinito, es finito. En este caso el límite existe y vale cero. Cuanto más grande sea el valor de x, positivo o negativo, más pequeño se hará el valor de la función. Gráficamente el resultado de dicho límite es una recta horizontal, llamada ASÍNTOTA HORIZONTAL, con la cual la gráfica tiende a juntarse. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

Apuntes Matemáticas 2º BCS Ejemplo 1 y = x / (x – 3) Para x = 1000  y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000  y = 10000/9997 = 1,0003 Para x = 100000  y = 1,00003 Por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco. Además se acerca a y=1, aunque nunca llega. Lím f(x) = 1 x+oo Ejemplo 2 y = x / (x2 – 4) Para x = 1000  y = 1000/999996 = 0,001 Para x=10000  y = 10000/9999996 = 0,0001 Para x = 100000  y = 0,00001 Para x = 1000000  y = 0,000001 Lím f(x) = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

Apuntes Matemáticas 2º BCS Otro ejemplo y = x / (x2 – 4) Para x = 1000  y = 1000/999996 = 0,001 Para x=10000  y = 10000/9999996 = 0,0001 Para x = 100000  y = 0,00001 Para x = 1000000  y = 0,000001 Está ya claro que: Lím f(x) = 0 x+oo Si x toma valores negativos muy grandes, el valor de f(x) seguirá una sucesión de valores idéntica, aunque ahora negativos. x – oo La función presenta una recta asíntota horizontal que es y = 0. Si los dos límites hallados fueran de distinto valor, la función tendría dos asíntotas horizontales: y = L1 e y = L2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

Apuntes Matemáticas 2º BCS EJEMPLO 1 Sea f(x) = 4 / x Cuando el valor de x se aproxima a cero, x0,por su derecha o por su izquierda, la gráfica tiende a juntarse con el eje de ordenadas. Por ello x=0 es una Asíntota Vertical. Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, x± oo, vemos que la gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas. Por ello la recta y=0 es una Asíntota Horizontal. y=f(x) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

Apuntes Matemáticas 2º BCS EJEMPLO 2 Sea f(x) = x / (2+x) Cuando el valor de x se aproxima a - 2, por su derecha o por su izquierda, la gráfica tiende a juntarse con la recta vertical x = - 2. Por ello x= - 2 es una Asíntota Vertical. Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, vemos que la gráfica tiende a juntarse con la recta y = 1. Por ello la recta y=1 es una Asíntota Horizontal. y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

Apuntes Matemáticas 2º BCS EJEMPLO 3 Sea f(x) = x / (x2 + 1) Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, x ± oo, el valor de f(x) tiende a cero. La gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas x=0 Por ello la recta y=0 es una Asíntota Horizontal. Como se aprecia no existen asíntotas verticales ni oblicuas. y Máx -1 -0,5 0,5 1 -2 -1 0 1 2 x Mín @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS