@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. CCSS1 LÍMITES DE FUNCIONES U.D. 6 * 2º BCS.

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2 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS1@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. CCSS1 LÍMITES DE FUNCIONES U.D. 6 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS2@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. CCSS2 APLICACIONES DE LOS LÍMITES U.D. 6.6 * 2º BCS

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS3 PREVIO 1 Sea f(x) = 4 / x Cuando el valor de x se aproxima a cero, x  0,por su derecha o por su izquierda, la gráfica tiende a juntarse con el eje de ordenadas. Por ello x=0 es una Asíntota Vertical. Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, x  ± oo, vemos que la gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas. Por ello la recta y=0 es una Asíntota Horizontal. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y=f(x) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y PREVIO 2 Sea f(x) = x / (2+x) Cuando el valor de x se aproxima a - 2, por su derecha o por su izquierda, la gráfica tiende a juntarse con la recta vertical x = - 2. Por ello x= - 2 es una Asíntota Vertical. Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, vemos que la gráfica tiende a juntarse con la recta y = 1. Por ello la recta y=1 es una Asíntota Horizontal.

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS5 PREVIO 3 Sea f(x) = x / (x 2 + 1) Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, x  ± oo, el valor de f(x) tiende a cero. La gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas x=0 Por ello la recta y=0 es una Asíntota Horizontal. Como se aprecia no existen asíntotas verticales ni oblicuas. Mín -2 -1 0 1 2 x y -1 -0,5 0,5 1 Máx

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS6 PROBLEMA 1 Un estudio realizado nos indica la relación que hay entre el número de p.p.m. de un alumno al estudiar mecanografía y el número de clases impartidas. La función resultante es: f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases a)En primer lugar averigua el número de horas de academia que debes pagar para asegurarte tener 120 ppm; para 240; para 300; y para llegar a las 350. b)Haz ahora una tabla de valores para obtener las ppm en función del número de horas de academia. No te olvides dar a la variable “x” los cuatro valores obtenidos antes. c)Analiza las ppm obtenidas en los mayores valores dados a “x”. Incluso puedes dar algún valor más, ampliar la tabla. ¿Qué pasa con dichos valores ?. d)Calcula el límite de la función cuando x  oo, o sea cuando toma valores muy grandes. Posiblemente te dé un valor finito. ¿Qué significa? e)Construye la Gráfica para visualizar mejor la función. ¿Lo ves?. Coméntalo.

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS7 RESOLUCIÓN f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases a)Calculamos el número de horas necesarias: 120 = [350.(x+1)] / (x+20)  120.(x+20) = 350.x+350 120.x+2400 = 350.x+350  2050 = 230.x  x = 9 horas. 240 = [350.(x+1)] / (x+20)  240.(x+20) = 350.x+350 240.x+4800 = 350.x+350  4450 = 110.x  x = 40 horas. 300 = [350.(x+1)] / (x+20)  300.(x+20) = 350.x+350 300.x+6000 = 350.x+350  5650 = 50.x  x = 130 horas. 350 = [350.(x+1)] / (x+20)  350.(x+20) = 350.x+350 350.x+7000 = 350.x+350  6650 = 0.x  x = Error (oo horas). b)Tabla de valores: Horas– 20092440130oo– 153 Ppmoo17´5120200240300350400

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS8 RESOLUCIÓN c) Análisis: Vemos que para obtener 350 ppm necesitaríamos infinitas horas. Y además, lo que es absurdo, al pretender pasar de 350 ppm el número de horas es negativo. d) ¿Significa que nunca podemos llegar a las 350 ppm?. Veamos que no, pues hay una asíntota horizontal que nos lo impide. y = lím 350 x / (x + 10) = [oo / oo] = Dividiendo todo entre x  x  oo y = lim 350 / ( 1 + 10/x) = 350 / 1 = 350 x  oo Y como todo límite, su valor nunca puede ser alcanzado por f(x). Horas– 20092440130oo– 153 Ppmoo17´5120200240300350400

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS9 -10 0 10 20 30 40 Tiempo en horas de clase 350 35 Nº de pulsaciones por minuto Parte de la gráfica que justifica un número de horas negativo al pretender pasar las 350 ppm.

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS10 PROBLEMA 2 En un laboratorio se ha obtenido la siguiente fórmula de un compuesto y = 75.x /(x+1) Siendo y el porcentaje de curaciones y x la cantidad en mgr de un determinado componente. a)Averigua la cantidad necesaria del componente para obtener el 25%, el 50%, el 75% y el 100% de curaciones. b)Representa gráficamente dicha función para poder visualizar el proceso y comprender algunas “rarezas” que te han debido salir en los anteriores cálculos.

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS11 RESOLUCIÓN f(x) = 75.x / (x+1), siendo x la cantidad del componente en mg a)Calculamos las cantidades necesarias: 25 = 75.x / (x+1)  25.(x+1) = 75.x 25.x+25 = 75.x  25 = 50.x  x = 0,50 mg 50 = 75.x / (x+1)  50.(x+1) = 75.x 50.x+50 = 75.x  50 = 25.x  x = 2 mg 75 = 75.x / (x+1)  75.(x+1) = 75.x 75.x+75 = 75.x  75 = 0.x  x = Error (oo mg) 100 = 75.x / (x+1)  100.(x+1) = 75.x 100.x+100 = 75.x  25.x = – 100  x = – 4 mg b)Tabla de valores: Cantidad mg.– 100,502oo– 4 % Curacionesoo0255075100

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS12 -1 0 1 2 3 4 Cantidad en mg 75 50 25 Porcentaje de curaciones (%) Parte de la gráfica que justifica un número de mg negativo al pretender pasar del 75% Asíntota Horizontal: y = lím 75.x / (x + 1) = [oo / oo] = 75 x  oo