Representación gráfica de funciones.

,0) ,0)

Función impar: Centro de simetría el (0,0)

Crecimiento y Decrecimiento Sea f una función derivable en los puntos del intervalo abierto I: Si f ’(x) > 0 para todo x I, entonces f es estrictamente creciente en I, Si f ’(x) < 0 para todo x  I, entonces f es estrictamente decreciente en I, De esta forma, el estudio del crecimiento o decrecimiento de una función se reduce al estudio del signo de su derivada. Ejemplo.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las función f(x) = 4 x 3 – 3 x Como f ‘ (x) = 12 x 2 – 3 = 3 . ( 2 x + 1 ) . ( 2 x – 1 ). Igualado f ‘ (x) a cero, se obtiene las soluciones x = -1/2 y x = +1/2 . Y obtenemos el estudio de crecimiento y decrecimiento siguiente

Extremos locales y relativos: máximos y mínimos Sea f una función derivable en un punto x0. Si f tiene en (x0,f(x0)) un extremo relativo (máximo o mínimo), entonces f ´(x0) = 0. Para que f tenga un máximo local en (x0,f(x0)) tiene que existir dos números a, b (a < b) tales que f sea creciente en (a,x0) y decreciente en (x0,b). Para que f tenga un mínimo local en (x0,f(x0)), tiene que existir dos números a, b (a < b) tales que f sea decreciente en (a,x0) y creciente en (x0,b). Puede suceder que f ‘ (x0) = 0, y f no tenga en (x0,f(x0)) ni máximo ni mínimo local (se suele denominar punto de inflexión). También puede suceder que no exista f ‘(x0) y que f tenga un máximo o un mínimo local (pero no relativo) en (x0,f(x0)). Los puntos x0 en los que f ’(x0 ) = 0 o no existe la derivada, se denominan puntos críticos.

Extremos locales: máximos y mínimos Ejemplos. Halla los máximos y mínimos de f(x) = x3 + x2 – x - 1. Como f ‘(x) = 0  3 x2 + 2 x – 1 = 0  x = -1 y x = 1/3 Y teniendo en cuenta que será: (-1,f(-1)) un máximo relativo (1/3,f(1/3)) un mínimo relativo

Extremos locales: máximos y mínimos Halla los máximos y mínimos de f(x) = x3 - 1. Como f ‘(x) = 0  3 x2 = 0  x = 0 Y teniendo en cuenta que f no tiene ni máximo ni mínimos relativos

Extremos locales: máximos y mínimos Halla los máximos y mínimos de f(x) = |x|. f ‘(x)  0 para todo x  0 y f ‘(0) no existe Sin embargo teniendo en cuenta que f es continua en x = 0 y que f tiene ni mínimo local en (0,0)

Concavidad, convexidad y puntos de inflexión Una función f es convexa en un intervalo I, cuando para cualquier par de puntos a, b  I el segmento que [a,b] queda por encima de la gráfica f en I. Una función f es cóncava en un intervalo I, cuando para cualquier par de puntos a, b  I el segmento que [a,b] queda por debajo de la gráfica f en I. En x0 f tiene un punto de inflexión cuando existe un a, b (a < b) tal que f es convexa en (a,x0) y cóncava en (x0,b) o cóncava en (a,x0) y convexa en (x0,b) Ejemplo.- La función x2 es convexa en todo intervalo real. La función g(x) = - x2 es cóncava en todo intervalo real. La función h(x) = x3 tiene un punto de inflexión en x = 0.

Concavidad, convexidad y puntos de inflexión Sea f una función con derivada segunda en un intervalo I Si f ‘ ‘(x) > 0, entonces f ‘(x) es creciente en I, y por tanto f es convexa en I. Si f ‘ ‘(x) < 0, entonces f ‘(x) es decreciente en I, y por tanto f es cóncava en I. Si f tiene en x0 un punto de inflexión y existe la derivada segunda en ese punto, entonces f ‘ ‘ (x0) = 0 Ejemplo.- Estudiar los intervalos de concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función f(x) = x3 – 3 x 2. Como f ‘ (x) = 3 x 2 – 6 x; f ‘ ‘ (x) = 6 x – 6 = 0  x = 1 Como: f ‘ ‘ (x) < 0 si x < 1, y f ‘ ‘ (x) > 0 si x > 1. f es cóncava en x < 1, convexa en x > 1, y tiene un punto de inflexión en (1,f(1)) = (1,-2).

Máximos y mínimos con la derivada segunda Si f es una función tal que f ‘(x0) = 0, es decir en x0 hay un punto crítico, y existe la derivada segunda en algún intervalo que contiene a x0. Si f ‘ ‘ (x0) > 0, entonces f alcanza un mínimo relativo en ((x0,f(x0)). Si f ‘ ‘ (x0) < 0, entonces f alcanza un máximo relativo en (x0,f(x0)). Ejemplo.- Estudiar los extremos relativos de la función f(x) = x4 – 4 x3 + 2 Como f ’(x) = 0  4 x3 – 12 x 2 = 0  x = 0 y x = 3. Como f ‘ ‘(0) = 12.02 – 24.0 = 0 y f ‘ ‘(3) = 12.32 – 24.3 > 0. Y teniendo en cuenta que f ‘ (x) < 0, si x (-,3) – {0}. f tendrá un punto de inflexión en (0,2) y un mínimo relativo en (3,-25)

convexa convexa

horizontal

Asíntotas verticales y horizontales Si f es una función tal que decimos que f tiene una asíntota horizontal y = a Ejemplo.- Estudiar las asíntotas horizontales de Como La función f tiene una asíntota horizontal y = 1

Asíntotas verticales y horizontales Si f es una función racional tal que para x = a, se anula el denominador si decimos que f tiene una asíntota vertical en x = a Ejemplo.- Estudiar las asíntotas verticales de Como La función f tiene una asíntota vertical en x = -2 y otra en x = 1

Asíntotas oblicuas Decimos que la recta y = m.x + n (con n  0) es una asíntota oblicua, cuando se cumple:

Ejemplo.- Estudiar las asíntotas oblicuas de la función Como f tiene una asíntota oblicua y = x

Estudio de las gráficas de una función El estudio de la gráfica de una función requiere recopilar gran cantidad de información y resultados. Una posible ordenación de este estudio es: 1.- Estudio de las propiedades globales de la función: Se estudia el dominio, los puntos de corte con los ejes, las simetrías y la periodicidad. Los intervalos del eje X en los cuales la función está por encima o por debajo del eje horizontal. Los puntos en los que f es discontinua. 2.- Derivada primera: Se estudian los puntos críticos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 3.- Derivada segunda: Se analiza los intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión. 4.- Asíntotas: Se estudia las posibles asíntotas, verticales, horizontales y oblicuas. 5.- Representación gráfica: Se representa la gráfica teniendo en cuenta todos los datos obtenidos en los apartados.

Estudio de las gráficas de una función VER EJEMPLO DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.

Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/descartes/web/) En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/matematicas.htm) En la siguiente diapósitiva