ECUACIONES EN DIFERENCIAS
INDICE INTRODUCCIÓN SOLUCIÓN DE LA HOMOGÉNEA ORDEN DE LA ECUACIÓN SOLUCIÓN DE LA PARTICULAR TIPOS DE ECUACIONESSOLUCIÓN FINAL
Modelo de poblaciones en tiempo discreto: k=0,1,2,3,4… (entre 0 y 1 no hay tiempo) Población y(k) nº de individuos en el tiempo k Población inicial y(0) nº de individuos en el instante 0 K-1kK+1 y(k-1)y(k)y(k+1) POBLACIÓN INSTANTES INTRODUCCIÓN EJEMPLOS
Ejemplos: La población se duplica: y(k)=2y(k-1) y(k+1)=2y(k) La población se reduce a la mitad: y(k)=1/2y(k-1) La población aumenta un 5%: y(k)=y(k-1)+5/100y(k-1)
ORDEN DE LA ECUACIÓN y(k+1)=2y(k) orden 1 y(k)-3y(k-1)=0 orden 1 y(k+1)-3y(k-1)=0 orden 2 y(k+1)=5y(k-2) orden 3 y(k+n)+y(k+n-1)-3y(k+n-2)+…+5y(k)=0 orden n
TIPOS DE ECUACIONES 1) ECUACIÓN HOMOGÉNEA y(k+1)-2y(k)=0 y(k+2)+y(k)-2y(k-1)=0 y(k)=3y(k-1) 2) ECUACIÓN COMPLETA y(k+1)-2y(k)=3 y(k+1)-2y(k)=3k+2 y(k+1)-2y(k)=2k
SOLUCIÓN DE LA HOMOGÉNEA Grado 1: y(k+1)-2y(k)=0 x-2=0 (ec. característica) x=2 solución: y(k)=c2 k
SOLUCIÓN DE LA HOMOGÉNEA Grado 2: y(k+2)-2y(k)+3y(k-1)=0 x 2 -2x+3=0 (ec. característica) solución: i) Dos raíces reales distintas: s 1, s 2 y(k)=c 1 s k 1 +c 2 s k 2 ii) Una raíz doble: s y(k)=c 1 s k +c 2 ks k iii) Dos raíces complejas conjugadas: s1=a+bi, s2=a-bi y(k)=c 1 r k cos(αk+c 2 ) r=√(a 2 +b 2 ) α=arctg(b/a)
SOLUCIÓN PARTICULAR 1)Si a la derecha tengo d k (3 k,4 k …) ensayo una función y p (k)=Ad k ejemplo: y(k+1)-2y(k)-3y(k-1)=2 k
SOLUCIÓN PARTICULAR 2) Si y(k) es un polinomio en k, ensayamos un polinomio en k del mismo grado (si no funciona ensayamos multiplicando por k) ejemplo: y(k+1)-y(k)=2k
SOLUCIÓN FINAL SOLUCIÓN HOMOGÉNEA + SOLUCIÓN PARTICULAR FIN