Función Cuadrática y Ecuación de Segundo Grado

Presentación del tema: "Función Cuadrática y Ecuación de Segundo Grado"— Transcripción de la presentación:

1 Función Cuadrática y Ecuación de Segundo Grado
Prof. Isaías Correa M.

2 OBJETIVOS: Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática. Graficar una función cuadrática, determinando vértice, eje de simetría y concavidad. Indicar las características gráficas de una parábola a través del análisis del discriminante. Determinar las intersecciones de la parábola con los ejes cartesianos. Determinar las raíces de una ecuación de 2º grado.

3 Contenidos Función cuadrática 2. Ecuación de 2º grado
1.1 Intersección con el eje Y 1.2 Concavidad 1.3 Eje de simetría y vértice 1.4 Discriminante 2. Ecuación de 2º grado 2.1 Raíces de una ecuación cuadrática 2.2 Propiedades de las raíces 2.3 Discriminante

4 1. Función Cuadrática f(x) = ax2 + bx + c con a =0; a,b,c  IR
Es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c con a =0; a,b,c  IR y su gráfica es una parábola. Ejemplos: a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1  a = 2, b = 3 y c = 1 b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2  a = 4, b = -5 y c = -2

5 1.1. Intersección con eje Y y c x
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y. x y c (0,C)

6 1.2. Concavidad En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo

7 Ejemplo: y x En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a = 1 y c = - 4.
Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,- 4) y es cóncava hacia arriba. x y (0,-4)

8 1.3 La importancia del valor de “a” y de “b”
El valor de “b” en la ecuación permite saber el movimiento horizontal de la parábola y “a” su concavidad. Sea la función cuadrática f(x)=ax² +bx + c Entonces: Si a>0 y b< la parábola abre hacia arriba y está orientada hacia la derecha. Ej. f(x)=2x² - 3x +2 Si a>0 y b> la parábola abre hacia arriba y está orientada hacia la izquierda. Ej. f(x)=x² + 3x - 2 Si a<0 y b>0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada hacia la derecha. Ej. f(x)=-3x + 4x – 1 Si a<0 y b< la parábola abre hacia abajo y esta orientada hacia la izquierda. Ej. f(x)=-x² - 4x + 1

9 1.4. Eje de simetría y vértice
El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y. Eje de simetría x y Vértice

10 -b x = 2a -b , f -b V = 2a -b , 4ac – b2 V = 2a 4a
Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces: -b 2a x = a) Su eje de simetría es: 2a V = -b , f -b b) Su vértice es: 4a -b , 4ac – b2 2a V =

11 Ejemplo: -b -2 x = x = x = -1 2a 2·1 -b , f -b V = V = ( -1, f(-1) )
En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8, entonces: a) Su eje de simetría es: 2a -b x = 2·1 -2 x =   x = -1 b) Su vértice es: -b , f -b 2a V =  V = ( -1, f(-1) )  V = ( -1, -9 )

12 Eje de simetría: x = -1 f(x) Vértice: V = ( -1, -9 )

13 1.5 Comportamiento de la función de acuerdo a “a”, “h” y “k”
Si y=ax² una función cuadrática cualquiera, entonces: y =a(x-h)² Significa que la función se movió a la izquierda o derecha, h unidades y abre hacia arriba o hacia abajo. Ej. 1) y=2(x-3)² (↑→) ) y=-3(x-4)² (↓→) x y x y ii) y =a(x+h)² significa que la función se movió a la izquierda o derecha, h unidades y abre hacia arriba o abajo. Ej. 1) y= 4(x+2)² (↑←) ) y=-(x+1)² (↓←) x y

14 iii) y=a(x-h)² ± k significa que la función se movió a la derecha o
izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo. Ej. 1) y=5(x-1)² (↑→↑) ) y=-3(x-7)² (↓→↓) iv) y=a(x + h)² ± k significa que la función se movió a la derecha o izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo. Ej. 1) y=(x+6)² (↑←↑) ) y=-5(x+3)² (↓←↓) x y Obs. V(h,k) es el vértice de la parábola.

15 Si la parábola es abierta hacia arriba, el vértice es un mínimo y si la parábola es abierta hacia abajo, el vértice es un máximo.

16 1.6. Discriminante Δ = b2 - 4ac El discriminante se define como:
a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje X. Δ > 0

17 b) Si el discriminante es negativo, entonces la
parábola NO intersecta al eje X. Δ < 0

18 c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la
parábola intersecta en un solo punto al eje X, es tangente a él. Δ = 0

19 2. Ecuación de segundo grado
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0 Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces. Si éstas son reales, corresponden a los puntos de intersección de la parábola f(x) = ax2 + bx + c con el eje X. x1 x2

20 Ejemplo: En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , la ecuación asociada: x2 - 3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4. Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos. x y x1 x2

21 2.1. Raíces de una ecuación de 2° grado
Fórmula para determinar las soluciones (raíces) de una ecuación de segundo grado: - b ± b2 – 4ac 2a x = Ejemplo: Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0 -(-3) ± (-3)2 – 4·1(- 4) 2 x = 3 ± 2 x =

22 3 ± 2 x = 2 x = 3 ± 5 2 x = 8 2 x = -2 x1 = 4 x2 = -1 También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como producto de binomios: x2 - 3x - 4 = 0 (x - 4)(x + 1) = 0  (x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0 x1 = 4 x2 = -1

23 2.2. Propiedades de las raíces
Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0, entonces: -b a x1 + x2 = 1) c a x1 · x2 = 2) Δ a x1 - x2 = ± 3) Dadas las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado, se puede determinar la ecuación asociada a ellas. a(x – x1)(x – x2) = 0

24 2.3. Discriminante En una ecuación de segundo grado, el discriminante Δ = b2 - 4ac permite conocer la naturaleza de las raíces. a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales x1, x2 y distintas. La parábola intersecta en dos puntos al eje X. x1, x2 son reales y x1 ≠ x2 x1 x2 Δ > 0

25 La parábola NO intersecta al eje X.
Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática no tiene solución real. La parábola NO intersecta al eje X. x1, x2 son complejos y conjugados x1 = x2 Δ < 0

26 La parábola intersecta en un solo punto al eje X.
c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales e iguales. La parábola intersecta en un solo punto al eje X. x1, x2 son reales y x1 = x2 x1= x2 Δ = 0

27