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Computational Modeling for Engineering MECN 6040
Professor: Dr. Omar E. Meza Castillo Department of Mechanical Engineering
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Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
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Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
donde ai son constantes, an 0. Ecuación o polinomio auxiliar : Para n = 2, Si probamos y(x) = emx, obtenemos la ecuación auxiliar.
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Las dos raíces del polinomio auxiliar son: (1) b2 – 4ac > 0: reales y distintas, m1 m2 (2) b2 – 4ac = 0: reales e iguales, m1 = m2 = -b/(2a) (3) b2 – 4ac < 0: complejas conjugadas,
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Caso 1: Raíces reales y distintas
La solución general es Caso 2: Raíces reales repetidas
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Caso 3: Raíces complejas conjugadas Escribimos
Caso 3: Raíces complejas conjugadas Escribimos , una solución general es Usando la fórmula de Euler:
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Como es solución general, tomando C1=C2=1 y C1 =1, C2 =-1
Tenemos dos soluciones: Así, ex cos x y ex sen x son un conjunto fundamental de soluciones y la solución general es:
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Resolver las EDs siguientes:
(c)
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Resolver Solución:
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Resolver las ecuaciones:
Para la primera ecuación : Para la segunda ecuación : Como Luego
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Separación de VARIABLES
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES MÉTODO ANALÍTICO
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Separación DE Variables
Asumiendo que u=X(x)Y(y), entonces
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Determine las soluciones producto de:
Solución Sea u=X(x)Y(y) y entonces Introducimos una constante de separación real como 2.
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Tenemos tres casos: Caso I: 2 > 0 X” – 42X = 0, Y’ − 2Y = 0
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Caso II: -2 < 0 X” + 42X = 0, Y’ + 2Y = 0
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Caso III: 2 =0 X” = 0, Y’ = 0
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Ecuación de Calor La ecuación de calor puede describirse así:
(1) (2) (3)
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Ecuación de Calor f(x) T x Distribución de temperatura a lo largo de la barra en un instante de tiempo cualquiera u=0 u=0 L
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Ecuación de Calor Usando u(x,t) = X(x)T(t), y −2 como la constante de separación: (4) (5)
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Ecuación de Calor Resolviendo: (6) (7) Condiciones de Frontera
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Cuando las condiciones de frontera X(0) = X(L) = 0 se aplican a (4), estas soluciones son sólo X(x) = 0. Aplicando la primera condición a (6) se obtiene c1=0. Por tanto X(x)=c2sinx. La condición X(L) = 0 implica que X(L)=c2sinL=0. Tenemos que sinL=0 para c2 0 y =n/L, donde n=1, 2, 3, … y las soluciones correspondientes
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La solución general de (7) es
y por tanto (10) donde An = c2c3.
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Ahora usando las condiciones iniciales u(x,0)=f(x), 0 < x < L, tenemos
(11) Por el principio de superposición, la función (12) Debe cumplir (1) y (2). Si ponemos t=0, entonces
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Se conoce como un desarrollo de semi-intervalo para f en una serie seno. Si ponemos An = bn, n= 1, 2, 3, … entonces: Llegamos a la conclusión de que la solución del PVF descrito por (1), (2) y (3) se expresa mediante la serie infinita
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En el caso especial, donde u(x,0)=100, L = , y k = 1, entonces
De modo que la solución es:
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Mathcad
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Otro caso La ecuación de calor puede describirse así: (1) (2) (3)
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En el caso especial, donde L = , y k = 1, entonces
De modo que la solución es:
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Mathcad
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Ecuación de LAPLACE Considere el siguiente problema de valores en la frontera: (1) (2) (3)
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T2 L T1 T1 W
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Mathcad
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