Funciones Vectoriales de una Variable Real

Contenidos ir Habilidades Funciones Vectoriales de Variable Real Límite Continuidad Curvas en el Espacio R3 Derivadas Curvas regulares Integrales ir ir ir ir ir ir ir ir

Habilidades Define el concepto de función vectorial. Su extensión. Calcula el límite de una función vectorial y determina si es continua en un punto. Determina la función vectorial de una curva en el espacio. Describe geométricamente las curvas definidas por funciones vectoriales. Determina la derivada de una función vectorial, su vector tangente unitario. Interpreta geométricamente la derivada y determina la ecuación paramétrica de la recta tangente.

Habilidades Representa geométricamente una curva en R2, graficando su vector posición y vector tangente. Define curva suave (regular) y determina la suavidad de la misma. Calcula integrales de funciones vectoriales. inicio

Funciones Vectoriales

Definición Es una función vectorial, donde son las coordenadas de r. Nota: Esto significa que para cada número t, del dominio de r, hay un vector único V, denotado por r(t).

Ejemplo inicio Dadas las funciones: Encuentre el dominio de r(t). Nota: El dominio de una función vectorial, está determinado por el mayor conjunto de la variable t, para la cual la expresión r(t) esté definida. inicio

Límite de una función en un punto. Dada ¿Es posible encontrar ?

Límite r(t) z O y x

lim lim Ejemplo Halle los siguientes límites: ÷ ø ö ç è æ ® t t -1 t-1 tan t ; 1 lim 2 +¥ ® t lim t - 1 (e-t ; ; atan(t)) t + 1 inicio

Ejemplo ¿Es ?

Continuidad Es continua en t0 , si: z r(t) y O x inicio x

Curvas en el espacio R2 y R3 Ejemplo 1: Trace e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas x=t2-2t; y= t + 1 y t pertenece A los reales. Ejemplo 2: Halle una función vectorial que represente a la curva de intersección del cilindro x2 + y2 = 1 y el Plano y + z = 2.

í ì C î Curvas en el espacio R3 El conjunto C de todos los puntos del espacio (x,y,z) donde x=f(t); y= g(t); z=h(t) y t varía el intervalo I. I t x= f(t) C Î î í ì ; : y = g(t) z = h(t) Nota 1: Las ecuaciones x=f(t); y= g(t); z=h(t), son funciones continuas, y se denominan ecuaciones paramétricas de C; t es el parámetro. Nota 2: Las ecuaciones x=f(t); y= g(t); z=h(t) se pueden interpretar como un vector de posición de la función vectorial r(t).

Ejemplo Dadas las funciones: Describa geométricamente la curva y trace las mismas

z z y Curva C x Ejemplo Describa analíticamente la curva generada por cilindro y el plano. y Curva C x

Ejemplo, 31 Pág. 842 Encuentre una función vectorial que represente la curva de intersección de las dos superficies:

Ejemplo ¿Es cierto que la curva con ecuaciones paramétricas se encuentra en el cono Si es cierto utilice este dato para trazar dicha curva. inicio

Derivadas z Q P C y x ( ) lim ú û ù ê ë é - + = ¢ h t r

Teorema Sea , cuando f, g, y h son funciones derivables en I, entonces: Ejemplo 1: Encuentre la función derivada de Halle el vector tangente unitario en el punto donde t = 0 Ejemplo 2: Dada la ecuación vectorial Trace la curva plana. Halle Trace el vector de posición y el vector tangente para el valor de .

Velocidad y acelaración Vector Tangente Unitario Vector Normal Unitario Vector Velocidad Rapidez Vector Aceleración

Ejemplo 1. Una partícula se mueve describiendo la curva dada por . Halla la velocidad y la aceleración en cada instante. 2. Calacular

Regla de Derivación Pág.846 a) Dt u(t) + v(t) = u(t) + v(t) b) Dt cu(t)=c u(t) c) Dt u(t)  v(t)= u(t) v(t) + u(t)  v(t) d) Dt u(t)  v(t)= u(t)  v(t) + u(t)  v(t)

Recta Tangente Ejemplo : Sea r(t) = ( 2cos t; sen t; t ). a) Hallar r(t). b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto en P(0, 1, /2). inicio

Curvas Regulares Dado f ¢ ; 1 f ¢ 2 3 Se dice que C es regular, si son continuas y no se anulan excepto quizás en los extremos de I. Nota: El texto usa término suave en lugar de regular.

Ejemplo Determine si la curva dada por medio de la función vectorial, r(t)=(1+t3; t2) es regular (suave).

Verificar que es curva regular (suave) Ejemplo Dada las ecuaciones: A B C x y z Verificar que es curva regular (suave) Trace la curva como intersección de dos superficies inicio

Integrales FIN