ESPAD III * TC 19 Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras. a2 = b2 + c2 En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2 Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados 3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos. Tres números enteros que verifiquen el Teorema de Pitágoras se dice que forman una terna pitagórica. a c b

Calculo de la hipotenusa En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 cm. Hallar la hipotenusa. Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 a2 = 32 + 42 a2 = 9 + 16 a2 = 25  Hipotensa a = √25 = 5 cm En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 y 12 cm. Hallar la hipotenusa. a2 = 52 + 122 a2 = 25 + 144 a2 = 160  Hipotensa a = √169 = 13 cm a c b

Calculo de la hipotenusa En un triángulo rectángulo, los catetos miden 8 y 15 cm. Hallar la hipotenusa. Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 a2 = 82 + 152 a2 = 64 + 225 a2 = 278  Hipotensa a = √289 = 17 cm En un triángulo rectángulo, los catetos miden 7 y 24 cm. Hallar la hipotenusa. a2 = 72 + 242 a2 = 49 + 576 a2 = 625  Hipotensa a = √625= 25 cm a c b

Calculo de los catetos a c b En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y la hipotenusa mide 10 cm. Hallar el otro cateto. Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 De donde: c2 = a2 – b2 c2 = 102 – 82 c2 = 100 – 64 c2 = 36  Cateto c = √36 = 6 cm En un triángulo rectángulo un cateto mide 21 cm y la hipotenusa mide 29 cm. Hallar el otro cateto. c2 = 292 – 212 c2 = 841 – 441 c2 = 400  Cateto c = √400 = 20 cm a c b

Calculo de los catetos a c b En un triángulo rectángulo un cateto mide 9 cm y la hipotenusa mide 41 cm. Hallar el otro cateto. Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 De donde: c2 = a2 – b2 c2 = 412 – 92 c2 = 1681 – 81 c2 = 1600  Cateto c = √1600 = 40 cm En un triángulo rectángulo un cateto mide 35 cm y la hipotenusa mide 37 cm. Hallar el otro cateto. c2 = 372 – 352 c2 = 1369 – 1225 c2 = 144  Cateto c = √144 = 12 cm a c b

Reconocimiento de triángulos Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor. Si a2 = b2 + c2  El triángulo es RECTÁNGULO. Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a. Si a2 < b2 + c2  El triángulo es ACUTÁNGULO. Los tres ángulos son menores de 90º. Si a2 > b2 + c2  El triángulo es OBTUSÁNGULO. Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a. a a a c c c A<90º A=90º A>90º b b b

Ejercicios 1.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm respectivamente?. Resolución El mayor, 10, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a2 = b2 + c2  102 = 72 + 52  100 = 49 + 25  100 = 74  100 > 74 Como 100 > 74 es un triángulo obtusángulo. 2.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm respectivamente?. El mayor, 61, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a2 = b2 + c2  612 = 602 + 112  3721 = 3600 + 121  Efectivamente 3721 = 3721, luego es un triángulo rectángulo. 3.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 10, 11 y 12 cm respectivamente?. El mayor, 12, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a2 = b2 + c2  122 = 112 + 102  144 = 121 + 100  144 = 221  144 < 121 Como 144 < 121 es un triángulo acutángulo.

Problemas de Pitágoras Ejemplo_1 Al construir un marco para una ventana rectangular, un carpintero mide el largo y la diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm respectivamente. ¿Qué tiene que medir el alto para que el marco esté bien hecho?. Como la ventana ha de ser un rectángulo, se debe cumplir el Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2  102 = 82 + h2  h2 = 100 – 64  h2 = 36  h = 6 dm debe medir. La otra solución de la ecuación, h = - 6 cm Es imposible porque sólo hay longitudes positivas. 10 cm h 8 cm

Problemas de Pitágoras Ejemplo_2 Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos inclinada sobre una pared, de modo su base está separada 5 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera en estas condiciones?. Como pared y el suelo forman un ángulo de 90º, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2  132 = 52 + h2  169 = 25 + h2  h2 = 169 – 25 = 144 h = √144 = 12 m alcanza la escalera. La otra solución, - 12 m , no vale. 13 m h 5 m

La cometa Ejemplo 3 En la cometa de la figura (trapezoide) nos dan la medida troceada de la diagonal mayor (6 + 15 = 21 dm) y el lado mayor (L=17 dm). Queremos saber el perímetro y el área para poder construirla. Calculamos la diagonal menor, d. Por el T. de Pitágoras d/2 = √(172 – 152) = √(289 – 225) = = √64 = 8  d = 2.8 = 16 dm Calculamos el lado menor, l. l = √(82 + 62) = √100 = 10 dm 17 10 8 15 6 8 10 17 El perímetro será: P=2.10+2.17 = 20+34 = 54 dm El área será: A=D.d/2 = 21.16 / 2 = 168 dm2

T. DE PITÁGORAS GENERALIZADO En un triángulo cualquiera el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. A Por Pitágoras, en el triángulo AHC, tenemos: b2 = h2 + n2 Como n = a – m y h2 = c2 - m2 en el triángulo AHB Resulta: b2 = c2 - m2 + (a – m)2 Operando queda: b2 = c2 - m2 + a2 – 2.a.m + m2 b2 = c2 + a2 – 2.a.m b c h H m n B a C

h TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZADO (y II) En un triángulo cualquiera el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. A Por Pitágoras, en el triángulo AHC, tenemos: b2 = h2 + (a + m)2 Como h2 = c2 - m2 en el triángulo AHB Resulta: b2 = c2 - m2 + (a + m)2 Operando queda: b2 = c2 - m2 + a2 + 2.a.m + m2 b2 = c2 + a2 + 2.a.m b h c m n H a C B