@ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1 U.D. 8 * 2º ESO GEOMETRÍA PLANA π.

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1 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1 U.D. 8 * 2º ESO GEOMETRÍA PLANA π

2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2 U.D. 8.2 * 2º ESO TEOREMA DE PITÁGORAS π

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO3 Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. a 2 = b 2 + c 2 a b c Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados 3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos. Tres números enteros que verifiquen el Teorema de Pitágoras se dice que forman una terna pitagórica.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO4 Demostración geométrica a b c a b c Primer paso: Los cuadrados de color oro y azul son de igual superficie que los romboides de iguales colores, por tener la misma base y altura.

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO5 Demostración geométrica Segundo paso: Los triángulos ABC y A’B’C’ son iguales y por tanto tienen la misma superficie. a b c a b c B AC B’ C’

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO6 Calculo de la hipotenusa En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 cm. Hallar la hipotenusa. Por el T. de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 a 2 = 3 2 + 4 2 a 2 = 9 + 16 a 2 = 25  Hipotensa a = √25 = 5 cm En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 y 12 cm. Hallar la hipotenusa. Por el T. de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 a 2 = 5 2 + 12 2 a 2 = 25 + 144 a 2 = 160  Hipotensa a = √169 = 13 cm a b c

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO7 Calculo de la hipotenusa En un triángulo rectángulo, los catetos miden 8 y 15 cm. Hallar la hipotenusa. Por el T. de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 a 2 = 8 2 + 15 2 a 2 = 64 + 225 a 2 = 278  Hipotensa a = √289 = 17 cm En un triángulo rectángulo, los catetos miden 7 y 24 cm. Hallar la hipotenusa. Por el T. de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 a 2 = 7 2 + 24 2 a 2 = 49 + 576 a 2 = 625  Hipotensa a = √625= 25 cm a b c

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO8 Calculo de los catetos En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y la hipotenusa mide 10 cm. Hallar el otro cateto. Por el T. de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 De donde: c 2 = a 2 – b 2 c 2 = 10 2 – 8 2 c 2 = 100 – 64 c 2 = 36  Cateto c = √36 = 6 cm En un triángulo rectángulo un cateto mide 21 cm y la hipotenusa mide 29 cm. Hallar el otro cateto. Por el T. de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 De donde: c 2 = a 2 – b 2 c 2 = 29 2 – 21 2 c 2 = 841 – 441 c 2 = 400  Cateto c = √400 = 20 cm a b c

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO9 Calculo de los catetos En un triángulo rectángulo un cateto mide 9 cm y la hipotenusa mide 41 cm. Hallar el otro cateto. Por el T. de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 De donde: c 2 = a 2 – b 2 c 2 = 41 2 – 9 2 c 2 = 1681 – 81 c 2 = 1600  Cateto c = √1600 = 40 cm En un triángulo rectángulo un cateto mide 35 cm y la hipotenusa mide 37 cm. Hallar el otro cateto. Por el T. de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 De donde: c 2 = a 2 – b 2 c 2 = 37 2 – 35 2 c 2 = 1369 – 1225 c 2 = 144  Cateto c = √144 = 12 cm a b c

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO10 Reconocimiento de triángulos Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor. Si a 2 = b 2 + c 2  El triángulo es RECTÁNGULO. Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a. Si a 2 < b 2 + c 2  El triángulo es ACUTÁNGULO. Los tres ángulos son menores de 90º. Si a 2 > b 2 + c 2  El triángulo es OBTUSÁNGULO. Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a. a a a b c b c b c A=90º A<90º A>90º

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO11 Ejercicios 1.-¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm respectivamente?. Resolución El mayor, 10, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a 2 = b 2 + c 2  10 2 = 7 2 + 5 2  100 = 49 + 25  100 = 74  100 > 74 Como 100 > 74 es un triángulo obtusángulo. 2.-¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm respectivamente?. Resolución El mayor, 61, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a 2 = b 2 + c 2  61 2 = 60 2 + 11 2  3721 = 3600 + 121  Efectivamente 3721 = 3721, luego es un triángulo rectángulo. 3.-¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 10, 11 y 12 cm respectivamente?. Resolución El mayor, 12, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a 2 = b 2 + c 2  12 2 = 11 2 + 10 2  144 = 121 + 100  144 = 221  144 < 121 Como 144 < 121 es un triángulo acutángulo.

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO12 Ejemplo_1 Al construir un marco para una ventana rectangular, un carpintero mide el largo y la diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm respectivamente. ¿Qué tiene que medir el alto para que el marco esté bien hecho?. Como la ventana ha de ser un rectángulo, se debe cumplir el Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2  10 2 = 8 2 + h 2  h 2 = 100 – 64  h 2 = 36  h = 6 dm debe medir. La otra solución de la ecuación, h = - 6 cm Es imposible porque sólo hay longitudes positivas. Problemas de Pitágoras 10 cm h 8 cm

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO13 Ejemplo_2 Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos inclinada sobre una pared, de modo su base está separada 5 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera en estas condiciones?. Como pared y el suelo forman un ángulo de 90º, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2  13 2 = 5 2 + h 2  169 = 25 + h 2  h 2 = 169 – 25 = 144 h = √144 = 12 m alcanza la escalera. La otra solución, - 12 m, no vale. Problemas de Pitágoras 13 m h 5 m