Matemáticas Acceso a CFGS RADICALES Bloque I * Tema 007 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS RADICALES EXPRESIÓN RADICAL índice raíz radicando si se verifica que rn = a, siendo n > 1 un número natural. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

PROPIEDAD FUNDAMENTAL Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía. Ejemplos: 4 3.4 12 √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 3.8 = √ 2 24 4 4/2 √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ 2 4 = √ 2 4 4 12 √ 2 4 = √ 2 8 = √ 2 24  2 4 / 2 = 2 8 / 4 = 2 24 / 12 Nota: Cuando el índice, n, es 2 se omite su escritura. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

RADICALES EQUIVALENTES Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía. Ejemplos: 4 3.4 12 √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 3.8 = √ 2 24 4 4/2 2 √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ 2 4 = √ 2 4 6 6/3 2 √ 2 3 = [ Dividimos entre 3 ] = √ 2 3/3 = √ 2 1 = √ 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

ORDENACIÓN DE RADICALES Para ORDENAR RADICALES de mayor a menor o viceversa, deben tener el mismo índice o el mismo radicando. Si no es así, siempre podemos conseguir que tengan el mismo índice mediante radicales equivalentes. CASO DE NO TENER EL MISMO ÍNDICE NI EL MISMO RADICANDO: Se harán radicales equivalentes de igual índice. Ejemplo 3 7 √ 2 y √ 5  No se pueden ordenar sin hacer índices comunes. 7.3 7 3.7 3 21 7 21 3 21 21 √ 2 y √ 5  √ 2 y √ 5  √ 128 y √ 125 Y ahora sí que podemos ordenarlos al tener el mismo índice. Pues a igualdad de índices es mayor quien tenga mayor radicando. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

ORDENACIÓN DE RADICALES CASO DE TENER EL MISMO ÍNDICE: Será menor el que tenga menor radicando. Ejemplo 3 3 3 3 √ 2 y √ 5  √ 5 > √ 2 , pues 5 > 2. CASO DE TENER EL MISMO RADICANDO: Será mayor el que tenga menor índice. 3 5 1 / 3 1 / 5 √ 2 y √ 2  2 > 2 , pues 1/3 > 1/5  5/15 > 3/15 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

PROPIEDADES DE LOS RADICALES n.p n 4 2.2 √ap = √a  Ejemplo: √ 9 = √ 32 = √ 3 PROPIEDAD 2: n n 4 4 √ap = ( √a )p  Ejemplo: ( √ 5 ) 2 = √ 52  Contraejemplo: ( √ (- 3) ) 2 <> √ (- 3)2 PROPIEDAD 3: m n m.n 3 6 √ ( √ a ) = √ a  Ejemplo: √ (√ 3 ) = √ 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS PROPIEDAD 4: n n n 4 4 4 4 √a. b = √a √b  Ejemplo: √ 6 = √ 2.3 = √ 2. √ 3 Ejemplo 3 3 3 1/3 3 √ 2 . √ 4 = √ 2.4 = √ 8 = 2 PROPIEDAD 5: n n n 3 3 3 3 √a / b = √a / √b  Ejemplo: √ 2 = √ 6 / 3 = √ 6 / √ 3 7 7 7 7 7 7 7/7 1 √ 512 : √ 4 = √ (512 : 4) = √ 128 = √ 2 = 2 = 2 = 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

OPERACIONES CON RADICALES Ejemplo 1 3 5 √ 2 . √ 4 Como no tienen el mismo índice no se pueden multiplicar. Hacemos radicales equivalente de forma que tengan el mismo índice ( el mínimo común múltiplo de los índices, el 15): 3 15 5 √ 2 = √ 2 5 15 3 √ 4 = √ 4 Ahora ya se pueden multiplicar 15 5 15 3 15 5 3 15 5 6 15 11 √ 2 . √ 4 = √ (2 . 4 ) = √ 2 . 2 = √ 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 2 12 4 3 √ 2 . √ 2 . √ 2 Como no tienen el mismo índice no se pueden multiplicar. Hacemos radicales equivalente de forma que tengan el mismo índice ( el mínimo común múltiplo de los índices, el 12): 12 12 √ 2 = √ 2 4 12 3 √ 2 = √ 2 3 12 4 Ahora ya se pueden multiplicar 12 12 3 12 4 12 3 4 12 8 6 4 3 2 3 √ 2 . √ 2 . √ 2 = √ 2. 2 . 2 = √ 2 = √ 2 = √ 2 = √ 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

EXTRACCIÓN DE FACTORES Para extraer factores de una raíz se factoriza el radicando y se buscan potencias con el mismo índice de la raíz. Ejemplo 1 3 3 2 3 3 2 √ 108 = √ 2 . 3 = 3 . √ 2 Ejemplo 2 4 4 10 4 4 4 2 4 2 √ 1024 = √ 2 = √ 2 . 2 . 2 = 2.2. √ 2 = 4. √ 2 Ejemplo 3 5 5 5 5 √ 1 / 32 = √ 1 / 25 = ( 1 / 2 ). √ 1 / 1 = (1 / 2). √ 1 = 1 / 2 Ejemplo 4 4 4 4 4 √ 32 / 81 = √ 25 / 34 = √ 2.24 / 34 = (2 / 3). √ 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS SUMA DE RADICALES Para que se puedan sumar convenientemente dos o más radicales, deben tener el mismo índice y el mismo radicando. 3 √ 2 + √ 5  No se pueden sumar. Habría que dejar indicada la suma. 3 3 √ 2 + √ 5  No se pueden sumar Habría que dejar la suma indicada. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 √ 2 + √ 16 = √ 2 + √ 2.8 = √ 2 + √ 2.2 = √ 2 + 2 √ 2 Sacando factor común a √ 2 tenemos: 3 3 √ 2 . ( 1 + 2 ) = 3 . √ 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS PRODUCTO DE RADICALES Para que se puedan multiplicar o dividir convenientemente dos o más radicales, deben tener el mismo índice o el mismo radicando. En su defecto siempre se puede conseguir tener el mismo índice haciendo previamente radicales equivalentes. Ejemplo 1 3 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 √ 2 . √ 5 = 2 . 5 = (2.5) = 10 Pues queda como producto de potencias de igual exponente. Ejemplo 2 3 4 1 / 3 1 / 4 (1/3+1/4) 7/12 √ 7 . √ 7 = 7 . 7 = 7 = 7 Pues queda como producto de potencias de igual base. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 3 3 √ 2 . √ 5  No se pueden multiplicar sin hacer índices comunes. El mínimo común múltiplo de los índices (3 y 2) es 6 6 2 6 3 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 6 √ 2 . √ 5 = 4 . 125 = (4.125) = 500 = √ 500 Pues queda como producto de potencias de igual exponente. Ejemplo 4 3 4 12 4 12 3 4 3 1/12 12 4 3 √ 7 . √ 3 = √ 7 . √ 3 = ( 7 . 3 ) = √( 7 . 3 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Racionalizar una expresión es transformarla en otra equivalente que no tenga radicales en el numerador. CASO 1 Hay raíces cuadradas en el denominador. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por dicha raíz cuadrada. Ejemplo: 3 3. √2 3. √2 3. √2 ----- = --------- = -------- = ------- √2 √2. √2 (√2)2 2 6.√2 6.√2.√3 6.√6 6.√6 -------- = ----------- = -------- = --------- = 2. √6 √3 √3.√3 (√3)2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS CASO 2 Hay raíces de índice n > 2 en el denominador. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por la raíz de índice n elevada a la potencia complementaria. Ejemplo: 3 3 3 3 5 5. √ 22 5. √ 22 5. √ 22 5. √22 3 ----- = --------- = -------------- = --------- = --------- = 2,5. √22 3 3 3 3 3 √2 √2. √22 √(2.22) √23 2 5 5 5 6.√2 6.√2.√33 6.√2. √33 6.√2. √33 5 -------- = ------------- = ----------- = ------------- = 2.√2.√33 5 5 5 5 √32 √32 √33 √ 35 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS CASO 3 Hay sumas o diferencias en el denominador en las cuales intervienen raíces cuadradas. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. Ejemplo: 5 5. (3 + √2) 5.(3 +√2) 15 + 5.√2 -------- = ----------------------- = -------------- = -------------- 3 - √2 (3 - √2).(3 + √2) 9 - 2 7 √2 √2.(√3 - √2) √6 - 2 √6 - 2 ----------- = ------------------------- = ----------- = ------------- = √6 – 2 √3 + √2 (√3 + √2).(√3 - √2) 3 – 2 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS