Cálculo de Trabajo Integral

Habilidades Calcula el trabajo realizado por un resorte. Calcula el trabajo realizado por una bomba para desaguar un tanque.

Trabajo Definición: Si la fuerza F aplicada a un objeto es constante, el trabajo W es: W = Fd en donde d es la distancia recorrida por el objeto. Unidades en el sistema internacional (SI): F: newton (N) d: metro (m) W: joule (J)

Trabajo Si la fuerza f (función continua en [a, b]) aplicada a un objeto no es constante, el trabajo W es: en donde a y b son las abscisas de los puntos inicial y final del objeto, respectivamente. Ejemplo1: Una partícula se mueve a lo largo del eje X debido a una fuerza de f(x) N cuando la partícula está a x metros del origen. Si f(x) = x2 + 4, calcule el trabajo realizado al mover la partícula de x = 2 a x = 4.

Trabajo Ley de Hooke: La fuerza requerida para mantener estirado un resorte x unidades más allá de su longitud natural es proporcional a x: en donde k es una constante positiva que se llama constante del resorte.

Trabajo L f(x) kx Posición natural del resorte Superficie sin fricción L Posición estirada del resorte x Superficie sin fricción f(x) Aplicación de la ley de Hooke: f(x) = kx x Superficie sin fricción kx

Trabajo Posición estirada inicial del resorte x Superficie sin fricción a Posición estirada final del resorte x Superficie sin fricción b Trabajo realizado:

Ejemplo 2 Un resorte tiene una longitud sin estirar de 14 cm. Si se requiere 0.5 N para estirar el resorte 2 cm., calcule el trabajo para estirar el resorte desde su longitud inicial hasta 18 cm.

Trabajo realizado al desaguar un tanque: Y X y Insertamos un sistema de coordenadas rectangulares, ubicando el origen de coordenadas a la altura de la salida del líquido, con el semieje positivo Y dirigido hacia abajo y colocando las dimensiones requeridas. Elegimos un elemento diferencial de volumen del líquido ubicado en una posición y entre a y b.

Trabajo realizado al desaguar un tanque: Y X y diferencial de volumen: dV = A(y) dy diferencial de masa: dm = dV = A(y) dy : densidad del líquido diferencial de fuerza: dF = g dm = g A(y) dy g=9,81 m\s2 diferencial de trabajo: dW = y dF = g y A(y) dy elemento diferencial de volumen: trabajo realizado: dy A(y)

Ejemplo 3 Un tanque en forma de cono circular invertido de 10 m de altura y 4 m de radio de la base se llena con agua hasta una altura de 8 m. Calcula el trabajo requerido para vaciarlo bombeando toda el agua hasta un lugar a la altura de la tapa del tanque. (La densidad del agua es 1000 kg/m3 ). xi xi 4m 10m 8m

Ejemplo 4 Un tanque de forma semicilíndrica de radio 3 m, largo de 10 m, está lleno de agua. Calcule el trabajo requerido para vaciarlo, bombeando el agua hasta una altura de 2 m., como indica la figura. 2 m 6 m 10 m

Ejemplo 5: a) Un reservorio de agua se obtiene al girar la curva alrededor del eje Y. Determine el volumen de agua que puede contener dicho reservorio; e se miden en pies.   b) Si el recipiente obtenido en el inciso (a) está lleno de agua, calcular el trabajo para bombear el agua por la salida que se muestra hasta que el nivel del agua quede a una altura de 4 pies del fondo del recipiente. 2 pies

Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Sección 6.4, 7.1 Ejercicios 6.4 pág 458: 5; 6; 7; 17; 18; 20. Ejercicios 7.1 pág 474: 1-36, 47, 48, 51-54, 56, 57, 61.