Movimiento Armonico Simple (M.A.S)

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1 Movimiento Armonico Simple (M.A.S)
Vamos a estudiar un movimiento llamado MAS, Movimiento Armónico Simple. Para ello, empezaremos viendo una serie de definiciones sencillas:

2 Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo valor. Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo. Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.

3 Movimiento vibratorio armónico simple: es un movimiento vibratorio con aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio. Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén.

4 Observando el movimiento del resorte, vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio, de equilibrio. La distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos la llamamos AMPLITUD y la representamos por A. La posición que ocupa la bola roja en cada momento con respecto al punto central la conocemos como ELONGACIÓN, x. El tiempo en realizar una oscilación completa es el PERÍODO, representado por T y medido en segundos. La FRECUENCIA es el número de oscilaciones por segundo que realiza y la representamos por n.

5 Para definir el movimiento tenemos que calcular su ecuación, donde veremos la relación entre las magnitudes que intervienen e influyen sobre él. Como cualquier movimiento, debemos encontrar una ecuación que nos relacione la posición (x) con el tiempo, es decir, encontrar la expresión de la posición en función del tiempo. Para ello vamos a partir de dos leyes muy conocidas en Física: - Ley de Hooke: que determina que la fuerza recuperadora del resorte es proporcional a la posición y de signo contrario. La expresión de la ley es: F = - Kx - La 2ª ley de Newton: que nos viene a decir que toda aceleración tiene su origen en una fuerza. esto lo expresamos con la conocida: F = ma Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración del movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas arriba, son iguales. Luego:

6 donde hemos expresado la aceleración como la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo. A partir de esta ecuación encontramos dos soluciones para el valor de la posición en función del tiempo: x = A sen(wt + q) y x = A cos(wt + q) siendo x la elongación, A la amplitud, w la pulsación o frecuencia angular y q el desfase, que nos indica la discrepancia entre el origen de espacios (pinto donde empezamos a medir el espacio) y el origen de tiempos. El valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante recuperadora por la ecuación que viene a continuación:

7 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS A partir de la ecuación de la posición o elongación (partimos de la 1ª ecuación de la de arriba) y, derivando con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la velocidad en el MAS: v = A w cos(wt + q) Modificando ligeramente esta ecuación encontramos una expresión de la velocidad en función de x, la elongación: Derivando con respecto al tiempo la velocidad, obtenemos la ecuación de la aceleración en el MAS: a = - A w2 sen(wt + q) de la que podemos obtener también una ecuación que la relaciona con la posición: a = - A w2

8 Con las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos calcular fácilmente los valores máximos de ambas y los puntos de la trayectoria donde se dan estos valores. Quedan resumidos en la siguiente tabla: Magnitud Ecuación Condición máximo Se da en Velocidad X = 0 El punto de equilibrio Aceleración a = - A w2 X = A (X es máximo) En los puntos extremos

9 Cinemática del M.A.S. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo (tal como puede verse en la figura. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja. Es también, por ejemplo, el movimiento que realiza cada uno de los  puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda.

10 El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda. Para deducir las ecuaciones que rigen este movimiento (unidimensional) podemos ayudarnos de un movimiento auxiliar, bidimensional, un movimiento circular uniforme (m.c.u.). Cuando tenemos un punto que da vueltas uniformemente alrededor de una circunferencia, la proyección sobre un eje (una sola dimensión) de ese punto describe un m.a.s., lo que nos va a permitir deducirnos sus ecuaciones a partir del movimiento circular (un movimiento auxiliar, bidimensional, que no es armónico simple).

11 Puede verse el ejemplo en la figura siguiente
Pero, pongamos atención, el movimiento armónico es el del punto que vemos moverse sobre el eje vertical (sube y baja). El movimiento circular de la partícula que da vueltas alrededor de la circunferencia, aunque es un movimiento periódico, no es un movimiento armónico. Sin embargo, ambos movimientos están directamente relacionados, puesto que uno genera el otro. Esta circunstancia nos va a permitir encontrar fácilmente una ecuación para el m.a.s., simplemente relacionándolo con el movimiento circular auxiliar.

12 FIGURA 1: Movimiento armónico simple
Veamos cómo. La figura 1, representa lo que hemos visto en el gráfico animado anterior. En ella pueden verse lo que significa cada una de las variables que hemos definido. Y = elongación Representa la distancia que separa a la partícula vibrante de la posición de equilibrio en cualquier instante. Físicamente, la elongación representa el estado de vibración de la partícula en cualquier instante.

13 A = amplitud Representa el máximo valor que puede tomar la elongación. Fo = fase inicial Representa la posición angular de la partícula para t = 0 en el m.c.u. auxiliar. w = pulsación Representa la velocidad angular del m.c.u. auxiliar. Es una constante del m.a.s. F = w.t + Fo fase Representa la posición angular de la partícula, en el m.c.u. auxiliar, para tiempo t.

14 La elongación de la partícula para un tiempo t viene dada por el seno del ángulo que nos da la posición de la partícula del m.c.u. y = A.sen(w.t + Fo)    Esta expresión recibe el nombre de ecuación general del m.a.s. Como puede verse, la elongación es una función periódica del tiempo y el máximo valor que puede tomar es A (la amplitud), ya que el valor del seno oscila entre los valores +1 y -1. Al igual que en cualquier otro movimiento, la velocidad de una partícula sometida a un m.a.s. vendrá dada por la derivada con respecto al tiempo de la función y v = dy/dt = A.w cos (w.t + Fo)  

15 La elongación de la partícula para un tiempo t viene dada por el seno del ángulo que nos da la posición de la partícula del m.c.u. y = A.sen(w.t + Fo)    Esta expresión recibe el nombre de ecuación general del m.a.s. Como puede verse, la elongación es una función periódica del tiempo y el máximo valor que puede tomar es A (la amplitud), ya que el valor del seno oscila entre los valores +1 y -1. Al igual que en cualquier otro movimiento, la velocidad de una partícula sometida a un m.a.s. vendrá dada por la derivada con respecto al tiempo de la función y v = dy/dt = A.w cos (w.t + Fo)  

16 donde observamos que la velocidad es también función periódica del tiempo y que, al aparecer un coseno, la velocidad toma su máximo valor cuando la fase es cero. Por otra parte cuando, la partícula se encuentre en los extremos el ángulo de fase es 90º  y 270º, por ello la velocidad es nula. Análogamente, derivando en la expresión de la velocidad, obtenemos el valor de la aceleración a = dv/dt = - A.w2 sen (w.t + Fo)    que teniendo en cuenta el valor de la elongación y se convierte en a = - y.w2  

17 en la que observamos que la aceleración en un m. a. s
en la que observamos que la aceleración en un m.a.s. es directamente proporcional a la elongación cambiada de signo. Lo que nos lleva a que la aceleración de la partícula sometida a un m.a.s. es, también, función periódica del tiempo, resultando máxima cuando se encuentra en la posición más alejada del punto de equilibrio, mientras que en este la aceleración es nula. El signo "menos" nos indica que el m.a.s. es un movimiento acelerado hacia el centro de oscilación (la partícula acelera cuando se dirige hacia la posición de equilibrio).

18 Período y frecuencia en el m. a. s
Período y frecuencia en el m.a.s. Período es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse. Dicho de otra forma, es el tiempo que tarda la partícula en realizar una oscilación completa. Esto ocurre cuando pasa dos veces consecutivas por la misma posición y en el mismo sentido del movimiento. Se representa por T. Frecuencia es el número de oscilaciones que la partícula realiza en la unidad de tiempo. Se representa por N ó f y se mide en s-1, vibraciones/s, ciclos/so hertzios. El período y la frecuencia se relacionan de la siguiente manera f = 1/T