Tema IV Discusión de sistemas MATEMÁTICAS A. CS II Tema IV Discusión de sistemas @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TEOREMA DE ROUCHE TEMA 4.2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TEOREMA DE ROUCHË DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE RANGOS Teorema de ROUCHË Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si, y sólo sí, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. Sea un sistema de ecuaciones lineales cualesquiera. Sea m el número de ecuaciones. Sea n el número de incógnitas. Sea h el rango de la matriz de los coeficientes, h= Rang(A) Sea h’ el rango de la matriz ampliada, h’=Rango (A/B) Sea el sistema: Matriz coeficientes: Matriz ampliada: a.x + b.y + c.z = d a b c a b c d a’.x + b’.y+c’.z = d’ (A)= a’ b’ c’ (A/B)= a’ b’ c’ d’ a”.x + b”.y +c”.z = d” a” b” c” a” b” c” d” @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TEOREMA DE ROUCHË CASUÍSTICA h < h’  Sistema INCOMPATIBLE (No hay solución). h = h’  Sistema COMPATIBLE (Hay solución o soluciones). En sistemas compatibles h = h’ y h = n  Sistema COMPATIBLE y DETERMINADO (Solución única). Se resolvería aplicando la Regla de Cramer. Puede que h = n < m (más ecuaciones que incógnitas). h = h’ y h < n  Sistema COMPATIBLE e INDETERMINADO Se toman h ecuaciones independientes, se pasan los términos necesarios junto a los términos independientes y se resolvería aplicando la Regla de Cramer. Todos los sistemas HOMOGÉNEOS son compatibles:  COMPATIBLE DETERMINADO n = h  x=y=z=0  COMPATIBLE INDETERMINADO n > h  Cramer. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TEOREMA DE ROUCHË Ejemplo 1 x + y + z = 3 1 1 1 1 1 1 3 x + y + z = 3 A= 1 1 1 A/B = 1 1 1 3 x + y + z = a 1 1 1 1 1 1 a Ya sabemos que m = Nº de ecuaciones = 3 n = Nº de incógnitas = 3 h = rang A = 1 Si a = 3  h = h’ = 1  Sistema Compatible, pues h=h’ Y como n > h  Indeterminado. RESOLUCIÓN: x = 3 – y – z , pues sólo hay una ecuación válida. Si a <>3 , entonces h’ = 2  Sistema Incompatible, pues h<>h’ @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TEOREMA DE ROUCHË Ejemplo 2 x + y + z = 3 1 1 1 1 1 1 3 x + y = 2 A= 1 1 0 A/B = 1 1 0 2 2x + 2y + z = 5 2 2 1 2 2 1 5 Ya sabemos que m = Nº de ecuaciones = 3 n = Nº de incógnitas = 3 h = rang A, h’ = rang (A/B) Calculemos el rango de A, h: |A| = 1 + 2 – 2 – 1 = 0  El rango de A, h, no puede ser 3. Tomamos 1 0 2 1 = 1 – 0 = 1 <> 0  Luego h = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TEOREMA DE ROUCHË Calculemos el rango de A/B, h’: Sabemos, al calcular el rango de A, que rango A/B es al menos 2. Veamos si es 3: 3 1 1 1 3 1 1 1 3 2 1 0 = 0 1 2 0 = 0 1 1 2 = 0 5 2 1 2 5 1 2 2 5 El rango de A/B no es 3, pues todos los determinantes de orden 3 son nulos. El rango de A/B es pues 2. h=h’=2 < n  Sistema Compatible e indeterminado. RESOLUCIÓN x + y + z = 3  x + y = 3 – z x + y = 2  x + y = 2 Como ambas expresiones son iguales: 3 – z = 2  z = 1 ,, x = 2 – y Es decir, en este caso concreto el valor de z queda determinado. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TEOREMA DE ROUCHË Ejemplo 3 x + y = 2 1 1 0 1 1 0 2 y + z = 2 A= 0 1 1 A/B = 0 1 1 2 x + z = 2 1 0 1 1 0 1 2 Tenemos: m = 3 ,, n = 3 Calculemos el rango de A, h: |A| = 1 + 1 = 2 <> 0  El rango de A es h = 3 1 1 2 0 1 2 = 2 + 2 – 2 = 2 <> 0  Rango de A/B es h’=3 1 0 2 El sistema es compatible (h=h’=3) y determinado (h=n=3)  Cramer @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. SOLUCIÓN POR LA REGLA DE CRAMER |A| = 2 2 1 0 1 2 0 1 1 2 2 1 1 0 2 1 0 1 2 2 0 1 1 2 1 1 0 2 x = -------------- = 1 ; y = ---------------- = 1 ; z = ------------------- = 1 2 2 2 x=y=z = 1 ¿Qué pasaría si alguno de los coeficientes fuera un parámetro?. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TEOREMA DE ROUCHË Ejemplo 4 x + y + z = 3 1 1 1 1 1 1 3 x + a.y = 2 A= 1 a 0 A/B = 1 a 0 2 2x + y + z = 3+a 2 1 1 2 1 1 3+a Ya sabemos que m = Nº de ecuaciones = 3 n = Nº de incógnitas = 3 h = rang A, h’ = rang (A/B) Calculemos el rango de A, h: |A| = a + 1 + 0 – 2.a – 0 – 1 = – a  El rango de A, h, depende de a. Si a = 0  h = Rang A <> 3 Tomamos 1 0 2 1 = 1 – 0 = 1 <> 0  Luego h = 2 Si a <> 0  h = Rang A = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TEOREMA DE ROUCHË Calculemos el rango de A/B, h’: Sabemos, al calcular el rango de A, que rango A/B es al menos 2. Veamos si es 3: 3 1 1 1 3 1 1 1 3 2 a 0 = – a2 1 2 0 = a – 2 1 a 2 = a2 – 4.a + 2 3+a 1 1 2 3+a 1 2 1 3+a No hay ningún valor de a que anulen los tres determinantes anteriores a la vez. Valga lo que valga a, alguno de ellos será distinto de cero y por tanto: h’ = 3 = n RESOLUCIÓN Si a = 0  h = 2 , h’ = 3  Sistema incompatible. No habría solución. Si a <> 0  h = 3 , h’ = 3 , n = 3  Sistema compatible y determinado. Aplicaríamos la Regla de Cramer @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. RESOLUCIÓN Si a = 0  h = 2 , h’ = 3  Sistema incompatible. No habría solución. Si a <> 0  h = 3 , h’ = 3 , n = 3  Sistema compatible y determinado. Aplicaríamos la Regla de Cramer SOLUCIÓN POR LA REGLA DE CRAMER |A| = -a – a2 a – 2 2 – a a2 – 4.a + 2 – a2 + 4.a – 2 x = ------ = a ; y = ------- = -------- ; z = ------------------- = ------------------- – a – a a – a a El sistema es compatible y determinado aunque x, y , z no tengan ningún valor concreto al depender de a. No sería determinado si el valor de x dependiera del valor de y o de z. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.