@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 MÉTODO DE GAUSS Bloque I * Tema 019.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 MÉTODO DE GAUSS Bloque I * Tema 019

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 Ejercicio previo Sea el sistema: 4x- 3y + z = 2(1) 3x – 4y + 5z = 5(2) 7x + 2y – 3z = - 3(3) Aplicamos el M. de Sustitución. Para ello despejamos “z” de la ecuación (1) z=2- 4x + 3y Sustituimos esa expresión en las otras dos ecuaciones: 3x – 4y + 5(2- 4x + 3y) = 5 7x + 2y – 3(2- 4x + 3y) = - 3 Operando, queda: 3x – 4y + 10- 20x + 15y = 5 7x + 2y – 6 + 12x - 9y = - 3 - 17x + 9y = - 5 19x – 7y = 3

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 Teníamos: - 17x + 9y = - 5(4) 19x – 7y = 3(5) Multiplicando la primera (4) por 7 y la segunda (5) por 9, tenemos: - 119x + 63y = - 35 171x – 63y = 27 Sumando ambas resulta: 52x = - 8  x = - 8 / 52 = - 4 / 26 = - 2 / 13 Sustituyendo en (4) - 17.(-2/13) + 9y = - 5,, 34 / 13 + 9y = - 5,, 34 + 117y = - 65 117 y = - 99, y = - 99 / 117 = - 33 / 39 = - 11 / 13 Y finalmente como z = 2 – 4x + 3y z = 2 – 4(-2/13) + 3(-11/13) = 2 + 8/13 – 33/ 13 = - 1 / 13,, z = - 1 / 13 Como hemos dicho, ese es el caso más favorable de resolver sistemas de tres o más ecuaciones, y aún así resulta bastante engorroso. Cuando el sistema sea de ecuaciones lineales, el método más rápido y fácil de resolverlo es el llamado MÉTODO DE GAUSS.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente escalonado. Para hacer un sistema equivalente a otro se pueden hacer una o varias de las siguientes operaciones: –S–Se multiplica o divide una ecuación por un número. –S–Se cambia el orden de las ecuaciones. –S–Se cambia el orden de las incógnitas en todas las ecuaciones del sistema. –S–Se añade o se suprime una ecuación que sea combinación lineal de otras. –S–Se suma o resta a una ecuación otra multiplicada por un número. Si para ello se emplean sólo coeficientes y términos independientes, estructurados en forma de matrices, el proceso es más fácil. Método de Gauss

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a”/a Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’/a Queda:a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g + e’.y + f’z = g’ Siendo e, f, g, e’.f’ y g’ números reales. Método de Gauss

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e Y obtengo finalmente: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j La solución del sistema será: z = j / h y = ( g – f.z ) / e x = ( d – c.z – b.y ) / a, en ese orden. Este método sirve cualquiera que sea el número de incógnitas. Método de Gauss

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 Al aplicar el método de Gauss obtengo: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j Si h<>0 y hay tantas ecuaciones como incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE Y DETERMINADO (Una solución). Si h<>0 y hay menos ecuaciones válidas que incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE E INDETERMINADO (Infinitas soluciones). Si h = 0 y j <> 0 : SISTEMA INCOMPATIBLE (No hay ninguna solución). ANÁLISIS DE RESULTADOS

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 EJEMPLO 1 Sea: x - y + z = 1 - x + 2 y + z = 2 3.x – 2.y - z = 0 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + F1 Queda: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 y - 4.z = -3 F3 = F3 – F2 Y obtengo finalmente: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 -6.z = -6 La solución del sistema será: z = -6 / -6 = 1 y = ( 3 – 2.1 ) / 1 = 1 x = ( 1 – 1.1 – (-1).1 ) / 1 = 1, en ese orden.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 EJEMPLO 2 Sea: x - y + 2.z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 3.x + 5.y - z = 2 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + 2.F1 Sea: x - y + 2.z = 4 5. z = 10 8.y - 7.z = - 10 Permuto la 2º y 3º fila Y obtengo finalmente: x - y + 2.z = 4 8.y - 7.z = - 10 5. z = 10 La solución: z = 10 / 5 = 2 y = ( - 10 + 7.2 ) / 8 = 1 / 2 x = ( 4 – 2.2 + (1 / 2 ) ) / 1 = 1 / 2, en ese orden.

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS10 EJEMPLO 3 Sea:3x - 6y + 2.z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 5.x + 5.y - z = 2 F1 = F1 : 3,, F2 = F2 : (-2),, F3 = F3 : 5 Queda: x - 2y + 2/3.z = 4/3 x - y - ½ z = - 1 x + y - 1/5 z = 2 /5 Muy importante: No olvidar dividir a TODOS los elementos de la fila F2 = F2 – F1,, F3 = F3 – F1 Y obtengo: x - 2y + 2/3.z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 3y - 13/15 z = - 14 /15 F3 = F3 – 3xF2 x - 2y + 2/3.z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 79/30 z = 91 /15

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS11 El método de Gauss se simplifica mucho si hacemos que el primer coeficiente de la primera ecuación valga la unidad ( a = 1). Sea:a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Divido toda la primera fila (ecuación) entre a. Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a” Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’ Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e CLAVE del Método de Gauss

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS12 EJEMPLO 1 Sea: 2.x + 4.y – 5z = 1 3.x – 5.y + 2.z = 0 4.x + 7.y – 5.z = 6 Clave: Divido la 1º entre 2: Queda: 1.x + 2.y – 2’5.z = 0’5 3.x – 5.y + 2.z = 0 4.x + 7.y – 5.z = 6 EJEMPLO 2 Sea: 7.x + 3.y – 3z = 7 3.x – 5.y + 2.z = 0 4.x + 7.y – 5.z = 6 Clave: A la 3º ecuación quito la 2º y luego permuto la 1º con la 3º Queda: 1.x + 12.y – 7.z = 6 3.x – 5.y + 2.z = 0 7.x + 3.y – 3.z = 7 Ejemplos