Mini-video 1 de 3 Sistemas de ecuaciones lineales

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Materia: Concepto. Teorema de Rouché

Sistemas de ecuaciones lineales
Se definen:

Se definen: Ejemplos:

Forma vectorial de un sistema:

Forma vectorial de un sistema: Forma matricial:

Concepto de solución.

Concepto de solución. Ejemplo:

Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados) - Incompatibles

Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados) - Incompatibles Ejemplos:

Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados) - Incompatibles Ejemplos: Soluciones:

Sistemas homogéneos

Sistemas homogéneos Ejemplo:

Teorema de Rouché-Frobenius

Teorema de Rouché-Frobenius Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 2: Ejemplo 3:

Ejemplo 4: Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: :

Ejemplo 4: Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

Ejemplo 4: Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado.

Ejemplo 4: Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado. Veamos los valores de «a» para los que se anula el determinante:

Luego ya podemos afirmar: Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3  Compatible y determinado

Luego ya podemos afirmar: Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3  Compatible y determinado Veamos que pasa si a=1:

Luego ya podemos afirmar: Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3  Compatible y determinado Veamos que pasa si a=1: Luego si a=1: R(A)=R(A*)=1  Compatible e indeterminado

Veamos que pasa si a=-2:

Veamos que pasa si a=-2: Calculamos:

Veamos que pasa si a=-2: Calculamos: Luego si a=-2: R(A)=2, R(A*)=3  Incompatible

Mini-video 2 de 3 Sistemas de ecuaciones lineales
Materia: Resolución de Sistemas Lineales

Sistemas equivalentes

Sistemas equivalentes Ejemplos:

Sistemas equivalentes Ejemplos: Se obtienen: - Intercambiando entre sí dos ecuaciones - Multiplicando una ecuación por un número  0 - Sumándole a una ecuación otra multiplicada por un número real cualquiera.

Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.

Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo. Ejemplo:

Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo. Ejemplo: Resulta que: Rango(A) =rango(A*)=2

Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo. Ejemplo: Resulta que: Rango(A) =rango(A*)=2 Con lo que resulta que hemos de sustituir el sistema por otro equivalente que tenga solo 2 ecuaciones:

Tenemos que:

Cualquiera de ellas nos valdrá. Por ejemplo:

Cualquiera de ellas nos valdrá. Por ejemplo: A este sistema le aplicaremos ya cualquiera de los métodos de resolución que veremos a continuación.

Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0

Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0 Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado

Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0 Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado Resolución de sistemas Cramer: - reducción - sustitución - igualación

Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0 Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado Resolución de sistemas Cramer: - reducción - sustitución - igualación - matriz inversa Ax=b; x=A-1b

Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0 Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado Resolución de sistemas Cramer: - reducción - sustitución - igualación - matriz inversa Ax=b; x=A-1b - Regla de Cramer (Ejemplo) Resolver mediante la Regla de Cramer el sistema:

Tenemos:

Sistemas Indeterminados

Sistemas Indeterminados Incógnitas principales y secundarias

Sistemas Indeterminados Incógnitas principales y secundarias Resolución: paso a sistema Cramer Ejemplo: Resolver

Sistemas Indeterminados Incógnitas principales y secundarias Resolución: paso a sistema Cramer Ejemplo: Resolver Solución:

OjO con los sistemas mal condicionados

Método de Gauss Sea Ax=b y A*=(A|b) El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal: De tal forma que Ax=b  I x=s  x=s que sería la solución del sistema.

Método de Gauss Sea Ax=b y A*=(A|b) El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal: De tal forma que Ax=b  I x=s  x=s que sería la solución del sistema. Se puede utilizar en sistemas incompatibles / compatibles / determinados / indeterminados.

Ejemplo:

Luego la solución es x1=1, x2=2, x3=3.

Mini-video 3 de 3 Materia: Prácticas con

La función RowReduce[ ] de Mathematica:

La función Solve[ ] de Mathematica:

OJO con los sistemas indeterminados:

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