Cálculo diferencial (arq) Funciones Función exponencial Función compuesta Función inversa Función logaritmo

f(x) = ax Función exponencial Una función exponencial f está dada por: donde x es cualquier número real, a > 0 y a ≠ 1. El número a se llama base.

Gráfica de f(x)=2x tabulamos: -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y

La gráfica es: Creciente Cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; 2). La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.

a = 2 seguir

a = 3 seguir

a = 4 seguir

a = 5 seguir

a = 1.5 seguir

a = 1.2 seguir

a = 1 seguir

Gráfica de f(x)=(½)x tabulamos…

La gráfica es: Decreciente Cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; ½ ). La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.

a = 0.5 seguir

a = 0.33 seguir

a = 0.25 seguir

a = 0.2 seguir

Conclusiones f(x)= a > 1 Función creciente Rango: (0; ∞) Dominio:  Asíntota: Eje x Gráfica cóncava hacia arriba Muy importante!!

Conclusiones f(x)= 0 < a < 1 OJO!! Función decreciente Rango: (0; ∞) Dominio:  Asíntota: Eje x Gráfica cóncava hacia arriba OJO!!

El número e El monto obtenido crece como puede apreciarse pero solo hasta cierta cantidad, es decir cuando n se hace muy grande… n 1 S/.2,00000 2 S/.2,25000 3 S/.2,37037 4 S/.2,44141 12 S/.2,61304 52 S/.2,69260 365 S/.2,71457 8760 S/.2,71813 525600 S/.2,71828 …. …..

Gráfica de f(x) = ex x ex 1 2,71.. 2 7,38.. Función creciente 1 2,71.. 2 7,38.. Función creciente Rango: (0; ∞) Dominio:  Asíntota: Eje x Gráfica cóncava hacia arriba

Gráfica de f(x) = ex -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y

Ejercicios Ejercicio 1.5 (p. 63) Gráficas: 7, 8, 11 y 13. 17 y 18 Modelación: 23.

Composición de funciones g salida f(g(x)) entrada x g(x)

Función compuesta fog Sean f y g funciones reales tales que Dom f  Ran g  , entonces: Dom(fog) = {x / xDomg  g(x)Domf } fog(x) = f(g(x))

Ejercicios Ejercicio 1.3 (p. 48): 36; 38; 54 y 55.

Diagrama de una función inversa x. .y = f(x) g(y) g Note que: y = f(x) y x = g(y)

Definición Sean f y g dos funciones tales que: dominio de f es D y rango C dominio de g es C y rango D g es la inversa de f si se cumple: g(f(x)) = x para todo x en D f(g(x)) = x para todo x en C

Guía para hallar f -1 Verificar que f es inyectiva (*). Determinar Dom f -1 (**) Despejar x de y = f (x). Se recomienda realizar el gráfico y determinar el rango de f. * Dom f -1 = Ran f

Ejercicios Ejercicio 1.6 (p. 73): 7 Ejercicio 1.6 (p. 73): 10 Dada la función f(x) = x2 - 1, x<0; y grafique f y f -1 en un mismo plano.

log a x = y  ay = x Función logarítmo a>1 y a≠1 El logaritmo de un número x en una base a es el exponente y al que hay que elevar la base para obtener el número.

Exponenciales y logarítmos Ecuación logarítmica Ecuación exponencial

Gráfica de f(x) = log 2 x graficamos… -2 ¼ -1 ½ 1 2 4 3 8 y x -1 1 2 3 5 6 7 8 9 10 -3 -2 x y ¼ -2 ½ -1 1 2 4 8 3 graficamos…

¿cómo se compara esta gráfica con la exponencial de base 2? La gráfica es creciente y cóncava hacia abajo y pasa por (1; 0) Se observa que ahora la asíntota vertical es el eje y ¿cómo se compara esta gráfica con la exponencial de base 2?

¿y cómo varía la gráfica al cambiar la base a? Las gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Cada punto (a; b) de la curva exponencial tiene su simétrico de la forma (b; a) en la curva logarítmica. (2; 4) (4; 2) ¿y cómo varía la gráfica al cambiar la base a?

a = 2 seguir

a = 2,5 seguir

a = 3 seguir

a = 3,5 seguir

a = 4 seguir

a = 4,5 seguir

a = 5 seguir

a = 1,6 seguir

a = 1,2 seguir

a = 0,8 seguir

a = 0,7 seguir

a = 0,6 seguir

a = 0,5 seguir

a = 0,4 seguir

Conclusiones a > 1 a base Función creciente Dominio: (0; ∞) 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -3 -2 -1 x y a > 1 Función creciente Dominio: (0; ∞) Rango:  Asíntota: Eje y Gráfica cóncava hacia abajo a base

Conclusiones 0 < a < 1 a base Función decreciente 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -3 -2 -1 x y 0 < a < 1 Función decreciente Dominio: (0; ∞) Rango:  Asíntota: Eje y Gráfica cóncava hacia arriba a base

Leyes de logarítmos Para cualesquier números positivos a, M y N, a ≠ 1 y cualquier número real k:

Logarítmo decimal o común El logaritmo log10 x se llama logaritmo común de x y su forma abreviada es log x. Para cualquier número positivo x.

Logaritmo natural Son aquellos cuya base es el número e ≈ 2,7182818.. Para cualquier número positivo x.

Gráfica de f(x) = ln x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -3 -2 -1 x y e Posee las características de toda gráfica logaritmica de base mayor que 1.

Ejercicios Ejercicio 1.6 (p. 73) De exponencial a logaritmo: 19 y 28. Función logaritmo: 42. Ecuaciones exponenciales: 49, 50, 51 y 52. Modelación: 55 y 56.

Tarea de conciencia Ejercicio Capítulo 1 (p. 79) 1, 2, 8, 10, 15, 16, 17c, 19, 23, 25, 27 y 28.