FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

CONTENIDO Función Exponencial. Definición de Asíntota Horizontal. Representación Gráfica. Exponencial Natural. Transformación de Funciones. Función Logaritmo. Definición de Asíntota Vertical. Logaritmo Común. Logaritmo Natural.

FUNCIÓN EXPONENCIAL Hemos estudiado funciones de la forma: Exponente constante Función potencia Base variable Como por ejemplo: Ahora estudiaremos funciones de la forma: Exponente variable Base constante Como por ejemplo:

DEFINICION DE FUNCION EXPONENCIAL Una función exponencial es una función de la forma: Exponente variable Base constante En donde: El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales. El rango de una función exponencial es el conjunto de los números reales positivos.

DEFINICIÓN DE ASINTOTA HORIZONTAL Una recta de la forma y=b es una asíntota horizontal de una función f, sí: o y=b y=b y=b y=b

Hacer la gráfica de la función: Características Dominio: Rango: Intersección eje x: No hay Intersección eje y: Creciente Comportamiento extremo: Asíntota horizontal: Función uno a uno

Hacer la gráfica de la función: Características Dominio: Rango: Intersección eje x: No hay Intersección eje y: Decreciente Comportamiento extremo: Asíntota horizontal: Función uno a uno

Veamos las dos gráficas en el mismo plano: La gráfica de corresponde a una reflexión sobre el eje y de la gráfica de En la base es 2 y 2>1 . La función es creciente. En la base es ½ y 0<1/2<1 La función es decreciente.

EN FORMA GENERAL En el ejemplo anterior En el ejemplo anterior

GRÁFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

La siguiente figura muestra las gráficas de algunas funciones exponenciales La gráfica de está entre la gráfica de y la de observe que 2<3<10. La gráfica de está entre la gráfica de y la de Todas las gráficas cortan al eje y en el punto (0,1)

FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL La función exponencial natural está definida por: Donde el número es un número irracional llamado número de Euler y está definido como el valor al que tiende Cuando Donde es un entero positivo El valor aproximado del número es:

GRAFICA DE Puesto que , la gráfica de la función exponencial natural se encuentra entre las gráficas de como se muestra en la figura: Características Dominio: Rango: Creciente Comportamiento extremo: Asíntota horizontal:

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES Partiendo de la gráfica de la función graficar: Traslación vertical, una unidad hacia arriba CARACTERISTICAS FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA HORIZONTAL FUNCIONES CRECIENTES

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES Partiendo de la gráfica de la función graficar: Reflexión eje y Reflexión eje x

CARACTERISTICAS DE LA FUNCION DOMINIO RANGO FUNCION DOMINIO RANGO

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES Transformaciones: Graficar: Traslación horizontal, 2 unidades a la derecha. A partir de Reflexión eje x. Traslación vertical, 2 unidades hacia abajo. FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA HORIZONTAL CRECIMIENTO creciente decreciente FUNCIONES UNO A UNO

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES Graficar: Características: Reflexión eje y. FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA HORIZONTAL CRECIMIENTO Traslación horizontal 1 unidad a la derecha. Dilatación vertical por 3. Traslación vertical 4 unidades hacia abajo. decreciente creciente FUNCIONES UNO A UNO

Ejemplo Encuentre la función de la forma que corresponde a la siguiente gráfica Puesto que: Entonces : Podemos saber que: Como sabemos que tenemos que : De donde La función es:

FUNCIÓN LOGARITMO Como ya se ha explicado toda función exponencial Es una función uno a uno y por lo tanto tiene una función inversa La función inversa se conoce como la función logaritmo, con base de x y se denota como La función logaritmo se define como: Es decir que es el exponente al cual debe elevarse la base para obtener

En la medida que x se aproxima a a. DEFINICIÓN DE ASINTOTA VERTICAL Una recta con ecuación x=a es una asíntota vertical de una función f, sí: o En la medida que x se aproxima a a. x=a x=a x=a x=a

GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO Utilizando un tabla de valores vamos a graficar la función

GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO Ya que la función logaritmo es la función inversa de la función exponencial , La gráfica de la función logaritmo se obtiene reflejando la función exponencial en la recta . Si a>1, se obtiene : Características: FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA CRECIMIENTO creciente creciente FUNCIONES UNO A UNO

GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO Si 0<a<1, se obtiene : Características: FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA CRECIMIENTO decreciente decreciente FUNCIONES UNO A UNO

GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO La siguiente figura muestra la familia de funciones logaritmo con base 2, 3, 5 y 10 La siguiente figura muestra la familia de funciones logaritmo con base 1/2, 1/3, 1/5 y 1/10

LOGARITMO COMUN El logaritmo con base 10 se conoce como logaritmo común y se denota omitiendo la base, así: Las calculadoras permiten evaluar estos logaritmos, si el logaritmo tiene otra base es necesario utilizar la fórmula de cambio de base para evaluarlos, así: Donde

LOGARITMO NATURAL El logaritmo con base se conoce como logaritmo natural y se denota como La función logaritmo natural es la función inversa de la función exponencial

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL La gráfica de la función logaritmo natural se obtiene reflejando la gráfica de la función exponencial en la recta: Características: FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA CRECIMIENTO creciente creciente FUNCIONES UNO A UNO

…RESUMIENDO

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES Trazar la gráfica de la función: Trasformaciones: Traslación horizontal, 3 unidades hacia la derecha. Traslación vertical, 1 unidad hacia arriba. Características: FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA VERTICAL FUNCIONES CRECIENTES

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES Trazar la gráfica de la función: Trasformaciones: Reflexión eje y. Traslación horizontal 2 unidades a la derecha. Reflexión eje x. Características: FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA VERTICAL creciente decreciente

Encuentre la función de la forma cuya gráfica se da. Reemplazando el punto (5,1) en , se tiene: De donde: Luego: