Apuntes 1º BAD C.SOCIALES CONCAVIDAD DÍA 46 * 1º BAD CS @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º BAD C.SOCIALES

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Sea la curva y = f (x). Sea xo un punto cualquiera de la curva. Sea y = t(x) la ecuación de la recta tangente a la curva por dicho punto. DEFINICIONES Si en las cercanías de xo tenemos f(x) > t(x) la curva es CONVEXA en xo. Si en las cercanías de xo tenemos f(x) < t(x) la curva es CÓNCAVA en xo. Si a la izquierda de xo tenemos f(x) < t(x) y a la derecha de xo tenemos f(x) > t(x) o viceversa, entonces x=xo es un PUNTO DE INFLEXIÓN. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º BAD C.SOCIALES

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD y = f (x) y = t (x) f (x) > t (x)  CÓNCAVA x=xo y = t (x) x=xo f (x) < t (x)  CONVEXA y = f (x) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º BAD C.SOCIALES

Apuntes 1º BAD C.SOCIALES Puntos de INFLEXIÓN y = f (x) y = t (x) Cóncava Cóncava x=xo Convexa Convexa - 3 -2 -1 0 1 2 PUNTO DE INFLEXIÓN @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º BAD C.SOCIALES

Apuntes 1º BAD C.SOCIALES SEGUNDA DERIVADA Si f(x) tiene segunda derivada en xo, se cumple que: Si f(x) es cóncava en xo  f ‘ (x) es creciente en xo  f ’’ (xo) ≥ 0 Si f(x) es convexa en xo  f ‘ (x) es decreciente en xo  f ’’ (xo) ≤ 0 Si f(x) tiene un punto de inflexión en xo  f ’’ (xo) = 0 Conclusiones Si f ‘’(xo) > 0  f (x) es cóncava en xo. Si f ‘’(xo) < 0  f (x) es convexa en xo. Si f ‘’(xo) = 0 y f ‘’’ (xo) <>0  f (x) tiene un P.I. en xo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º BAD C.SOCIALES

IDENTIFICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si f ‘ (x) = 0 y existe segunda derivada en xo, entonces: Si f ‘’(xo) > 0  f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en xo. Si f ‘’(xo) < 0  f (x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en xo. EJEMPLO_1 Sea y = (1 / 3) x3 – (3 / 2) x2 + 2 x – 5 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = x2 – 3x + 2  y ‘ = 0  (x – 1).(x – 2) = 0 Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 2.x – 3 En x=1  y ‘’ (1) = 2 – 3 = - 1 < 0  Máximo relativo en x=1 En x=2  y ‘’ (2) = 4 – 3 = 1 > 0  Mínimo relativo en x=1 y ‘’ =0  2.x – 3 = 0  x = 1,5  y ‘’’ = 2 <>0  P. Inflexión. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º BAD C.SOCIALES

Apuntes 1º BAD C.SOCIALES EJEMPLO_2 Sea y = (1 / 3) x3 + x2 – 5 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = x2 + 2x  y ‘ = 0  x .(x + 2) = 0 x=0 y x= - 2 son los posibles máximos y mínimos relativos. Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 2.x + 2 En x = 0  y ‘’ (0) = 2.0 + 2 = 2 > 0  Mínimo relativo en x=0 En x = – 2  y ‘’ (– 2 ) = – 4 + 2 = – 2 < 0  Máximo relativo en x= – 2 y ‘’ = 0  2.x + 2 = 0  x = – 1 es el posible P. de Inflexión.  y ‘’’ = 2 <>0  P. Inflexión. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º BAD C.SOCIALES

INTERVALOS DE CONCAVIDAD EJEMPLO 1 Sea y = x3 + 3.x2 – 9x + 8 Estudiar la concavidad de la función. Sea y ’ = 3.x2 + 6.x – 9  y ‘ = 0  3.(x2 + 2.x – 3) = 0 Resolviendo la ecuación: x = 1 y x = - 3 son las soluciones. Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 6.x + 6 6.x + 6 = 0  En x = – 1 hay un posible punto de inflexión. y ‘’’ = 6 <>0  P. Inflexión en x = - 1. Intervalos de concavidad: En (-oo, - 1)  y’’(-2) = 6(-2)+6 = -6 < 0  Convexa En (-1, +oo)  y’’(2) = 6(2)+6 = 18 > 0  Cóncava @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º BAD C.SOCIALES

INTERVALOS DE CONCAVIDAD EJEMPLO 2 Sea y = x2 / (x+2) Estudiar la concavidad de la función. En x = -2 presenta una asíntota vertical, que hay que tener en cuenta. Sea y ’ = [ 2x.(x+2) – x2 ] / (x+2)2 = (x2 + 4x) / (x+2)2 Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = [ (2.x + 4).(x+2)2 – (x2 + 4x).2.(x+2) ] / (x+2)4 y ‘’ = [ (2.x + 4).(x+2) – (x2 + 4x).2 ] / (x+2)3 y ‘’ = [ 2.x2 + 4.x + 4.x + 8 – 2.x2 – 8.x ] / (x+2)3 = 8 / (x+2)3 8 <> 0  No hay ningún punto de inflexión. Intervalos de concavidad: En (-oo, - 2)  y’’(-3) = 8/(-1)3 = -8 < 0  Convexa En (-2, +oo)  y’’(0) = 8 / 8 = 1 > 0  Cóncava @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º BAD C.SOCIALES

INTERVALOS DE CONCAVIDAD EJEMPLO 3 Sea y = √x Estudiar la concavidad de la función. En x < 0 la función no existe. Sea y ’ = 1 / 2 √x = √x / 2.x Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = [ (1 / 2.√x).2.x – √x.2 ] / 4.x2 y ‘’ = [ √x) – 2.√x ] / 4.x2 = – √x / 4.x2 = – x – 3/4 / 4 = – 1 / 4.x 3/4 -1 <> 0  No hay ningún punto de inflexión. Intervalos de concavidad: En (0, +oo)  y’’(1) = – 1 / 4 < 0  Convexa @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º BAD C.SOCIALES

INTERVALOS DE CONCAVIDAD EJEMPLO 4 Sea y = 3x Estudiar la concavidad de la función. Sea y ’ = 3x . ln 3 Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 3x . (ln 3)2 y ‘’ <> 0  No hay ningún punto de inflexión. Intervalos de concavidad: En (– oo , +oo)  y’’(0) = (ln 3)2 > 0  Cóncava @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º BAD C.SOCIALES