@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 2º ESO1 TEMA 8.7 MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 2º ESO1 TEMA 8.7 MÁXIMOS Y MÍNIMOS

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 2º ESO2 MAXIMOS LOCALES Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO LOCAL en un punto x=a cuando en dicho punto pasa de ser creciente a ser decrecientre. f (a - h) < f (a) > f (a + h) MINIMOS LOCALES Una función y = f(x) decimos que presenta un MÍNIMO LOCAL en un punto x=b cuando en dicho punto pasa de ser decreciente a ser crecientre. f (b - h) > f (b) < f (b + h) Nota: h es un número positivo. ab f (b) f (a) y=f (x) x MÁXIMOS Y MÍNIMOS Mínimo local Máximo local

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 2º ESO3 MAXIMOS RELATIVOS Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO RELATIVO en un punto x=a cuando en dicho punto presenta un máximo local sin ángulos y h es muy pequeño. MINIMOS RELATIVOS Una función y = f(x) decimos que presenta un MÍNIMO RELATIVO en un punto x=b cuando en dicho punto presenta un mínimo local sin ángulos y h es muy pequeño. MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO/MÍNIMO ABSOLUTO en un punto cuando f(x) el mayor/menor valor de la función en dicho punto. ab f (b) f (a) y=f (x) x MÁXIMOS Y MÍNIMOS Mínimo relativo Máximo relativo Mínimo absoluto Máximo absoluto

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 2º ESO4 Ejemplos de MÁXIMOS Y MÍNIMOS Sea la función f(x) = a.x 2 + b.x + c Ejemplo 1 Sea la función cuadrática f (x) = 2x 2 – 2 Como a = 2 > 0  Parábola cóncava Presenta un Mínimo Local en el vértice: Mín = V(0, – 2) Ejemplo 2 Sea la función cuadrática f (x) = – x 2 + 2.x Como a = – 1 < 0  Parábola convexa Presenta un Máximo Local en el vértice: Mín = V(1, 1) Nota: En ambos casos los máximos y mínimos locales son también relativos y absolutos. V=Min V=Max

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 2º ESO5 En el siguiente ejercicio determinar: Dominio de la función. Tipo de funciones representadas e intervalos correspondientes. Puntos de discontinuidad. Valor de la función en dichos puntos. Intervalos de discontinuidad. Máximos y mínimos locales. Coordenadas. Máximos y mínimos absolutos. Coordenadas Máximos y mínimos relativos. Coordenadas Intervalos de crecimiento. Intervalos de decrecimiento. Ejercicio completo

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 2º ESO6 Ejercicio 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 5 4 3 2 1 - 1 A B A D C E F G H I J K y = f(x) M L N

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 2º ESO7 Ejemplo práctico Compramos 50 kg de cierta mercancía a 5€ el kilo. Cada día que pasa se deterioran 2 kg, que ya no podemos vender. A su vez cada día que transcurre desde la compra el kg aumenta en 50 céntimos. ¿Cuánto tiempo debemos esperar a venderla para obtener el máximo beneficio?. Si la vendemos muy pronto, vendemos más kg pero a un precio muy parecido al de compra, con lo cual los beneficios serán muy pequeños. Si la vendemos muy tarde, vendemos cada kg a un precio muy elevado respecto al de compra, pero tendremos ya muy poco género para vender, con lo cual los beneficios, si les hay, serán muy pequeños. Sea x el número de días que esperamos para vender el género. Venta=Kilos x Precio V=(50 – 2.x).(5 + 1.x)=250 – 10.x + 50.x – x 2 = – x 2 + 40.x + 250 f(x)= – x 2 + 40.x + 250  Función cuadrática  Parábola El máximo beneficio se alcanzará en el vértice de la misma, siendo ésta convexa.