Métodos Matemáticos INAOE CURSO PROPEDEUTICO PARA LA MAESTRIA EN ELECTRONICA Capítulo

EDO de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE

CASO ESPECIAL DE SEPARACION DE VARIABLES El cambio de variable lleva a :

Ejemplo

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE EDO Exacta

La premisa es que se trata de una EDO exacta : Si se cumple esta igualdad, si es una EDO exacta: Tomamos el 1er. Término e integramos con respecto a “x” (y constante): Obtenemos derivada parcial con respecto a “y”: Despejamos g´(y) Integrando con respecto a “y” obtenemos g(y) Tomamos g(y) y lo substituimos en F LA SOLUCION DE LA EDO ES F=c SOLUCION :

Ejemplo. Resolver:

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE Checando exactitud Como la ecuación es exacta: Solución implícita:

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE Las curvas integrales son círculos

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE Ex: Find the exact first order ODE with a solution given by F(x,y) :

Métodos Matemáticos - INAOE Ejemplo: Resuelva la sig. EDO :

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE Integrales definidas para los IVPs

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE

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Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE

Ejercicios: Métodos Matemáticos - INAOE EJEMPLOS: Resolver las sig. EDO.

Determinación del Factor integrante µ(x) Forma gral. de la EDO La escribimos en forma diferencial Multiplicamos todo por el factor integrante µ(x) Para convertir la EDO en exacta se debe cumplir que: Simplificando: Resolviendo para µ : Factor Integrante :

Solución de la EDO una vez conocido el factor integrante: A partir de la EDO en su forma diferencial: Multiplicamos todo por el factor integrante: Reconocemos del lado izquierdo la diferencial de un producto: Integramos en ambos lados: Despejando “y” tenemos la solución ! :

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE Ecuaciones no homogéneas: Factor integrante (ejemplos)

METODO DE VARIACION DE PARAMETROS EN LA SOLUCION DE ECS. DIF. LINEAL NO-HOMOGENEA Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada La solución particular proviene de la forma de f(x)

El método de variación de parámetros consiste en encontrar una función v(x) tal que al ser multiplicada por la solución complementaria entregue la solución de la ecuación diferencial Iniciamos con la forma gral. de la ecuación: Substituímos la sol. propuesta: Derivamos el producto: Agrupamos y cancelamos término: Resolvemos para “v” :

Integramos la expresión: Substituímos en la solución originalmente propuesta : Se obtiene la solución:

EJEMPLO: Resolver la ecuación: Obtenemos : Obtenemos v La solución es :

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE Ecuaciones no homogéneas: Variación de Parámetros (ejemplos).

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE Ecuaciones no homogéneas: Variación de Parámetros (ejemplos).

Ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos Matemáticos - INAOE Ecuaciones no homogéneas: Variación de Parámetros (ejemplos).

EDO de segundo orden Métodos Matemáticos - INAOE