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# Resolver :

## PresentaciΓ³n del tema: "Resolver : "β TranscripciΓ³n de la presentaciΓ³n:

Resolver : π¦ (π¦β²) 2 β π₯ π¦ π¦ β² +π₯π¦=0β¦β¦.(1) ππ¦ ππ₯ =π ResoluciΓ³n: Haciendo Y reemplazando en la ecuaciΓ³n (1) π¦ π 2 β π₯ π¦ 2 +1 π+π₯π¦= o π 2 β π₯ π¦ π¦ π+π₯=0 Resolviendo el polinomio de segundo grado, respecto a la variable p (πβ π₯ π¦ π¦ ) 2 β π₯ π¦ π¦ 2 +π₯=0 Despejando la variable p π= π₯ π¦ π¦ Β± π₯ π¦ π¦ 2 βπ₯ = π₯ π¦ π¦ Β± π₯ 2 π¦ 4 +2π₯ π¦ 2 +1β4π₯ π¦ 2 4 π¦ 2 Simplificando: p= π₯ π¦ π¦ Β± π₯ 2 π¦ 4 β2π₯ π¦ (2π¦) 2 = π₯ π¦ π¦ Β± (π₯ π¦ 2 β1) 2 (2π¦) 2

π= π₯ π¦ π¦ Β± π₯ π¦ 2 β1 2π¦ El polinomio tiene 2 resultados en la variable p: π=π₯π¦ π= 1 π¦ ππ¦ ππ₯ =π₯π¦ ππ¦ ππ₯ = 1 π¦ ππ¦ π¦ = π₯ππ₯+π π¦ππ¦= ππ₯+π πππ¦= π₯ π π¦ 2 2 =π₯+π

ππ¦ ππ₯ ππ ππ¦ ππ₯ βπ¦= o Resolver respecto a y: ππππβπ¦=0 Despejando la funciΓ³n incΓ³gnita: π¦=π(π₯,π); π=π(π₯) π¦=ππππβ¦β¦ 1 Derivar la ecuaciΓ³n (1), respecto a x ππ¦ ππ₯ =πππ ππ ππ₯ + ππ ππ₯ π= ππ ππ₯ (πππ+1) Separando Variables ππ₯ = πππ+1 π ππ+πΆ ππ₯= πππ+1 ππ π₯= (πππ+1) πΆ Por tanto; la soluciΓ³n General de la ecuaciΓ³n diferencial es: π¦=ππππ π₯= (πππ+1) πΆ

Resolver respecto a y: π¦β² 2 πππ  π¦ β² + π¦ β² =π¦ π¦= π 2 πππ π+πβ¦β¦(1) Despejando la funciΓ³n incΓ³gnita: π¦=π(π₯,π); Derivar respecto a x ππ¦ ππ₯ =2ππππ π ππ ππ₯ β π 2 π πππ ππ ππ₯ + ππ ππ₯ π= ππ ππ₯ (2ππππ πβ π 2 π πππ+1) Separando Variables ππ₯ = 2πππ πβππ πππ+ 1 π ππ +πΆ ππ₯= 1 π 2ππππ πβ π 2 π πππ+1 ππ π₯=2π πππ+ππππ πβπ πππ+πππ+πΆ=π πππ+ππππ π+πππ+πΆ Por tanto; la soluciΓ³n General de la ecuaciΓ³n diferencial es: π¦= π 2 πππ π+π π₯=π πππ+ππππ π+πππ+πΆ

Resolver respecto a la variable y
3 π₯ 4 ( ππ¦ ππ₯ ) 2 βπ₯ ππ¦ ππ₯ βπ¦=0 π¦=3 π₯ 4 π 2 βπ₯π Despejando la funciΓ³n incΓ³gnita: π¦=π(π₯,π); Derivar respecto a x ππ¦ ππ₯ =3 4 π₯ 3 π 2 + 2π₯ 4 π ππ ππ₯ βπβπ₯ ππ ππ₯ π=12 π₯ 3 π 2 +6 π₯ 4 π ππ ππ₯ βπ₯ ππ ππ₯ βπ 2πβ12 π₯ 3 π 2 =(6 π₯ 4 πβπ₯) ππ ππ₯

Resolver la siguiente ecuaciΓ³n diferencial respecto a la variable P
π¦β² 3 βπ¦ π¦ β² 2 β π₯ 2 π¦ β² + π₯ 2 π¦=0 π 3 βπ¦ π 2 β π₯ 2 π+ π₯ 2 π¦=0 Factor izando, obtenemos: π 2 πβπ¦ β π₯ 2 πβπ¦ =0 πβπ¦ π 2 β π₯ 2 =0 Igualando a cero cada uno de los factores ππ¦ ππ₯ =π¦ ππ¦ ππ₯ =Β±π₯ πβπ¦=0 π 2 β π₯ 2 =0 π=π¦ π=Β±π₯ Separando variables e Integrando: Por tanto la S.G. es: ππ¦ π¦ = ππ₯+πΆ ππ¦=Β± π₯ππ₯ πππ¦=π₯+πΆ π¦=Β± π₯ πΆ πππ¦βπ₯βπΆ π¦Β± π₯ 2 2 βπΆ =0

Resolver la siguiente ecuaciΓ³n diferencial de primer orden y grado superior
ResoluciΓ³n respecto a x 8π¦ ( ππ¦ ππ₯ ) 2 =β2π₯ ππ¦ ππ₯ +π¦=0 Haciendo ππ¦ ππ₯ =π Y reemplazando en nuestra ecuaciΓ³n 8π¦ π 2 =β2π₯π+π¦ Despejando la variable x; ya que es resoluciΓ³n respecto a X π₯= π¦β8π¦ π 2 2π Por tanto tiene la siguiente forma π₯=π(π¦,π) Si observamos detenidamente, vemos que x es funciΓ³n de Y y P AdemΓ‘s p es funciΓ³n de y, por tanto: π=π(π¦) En conclusiΓ³n: la derivada del despeje de X debe ser respecto a la variable y ππ₯ ππ¦ = β8 π 2 +2π¦π ππ ππ¦ πβ(π¦β8 π¦π 2 ) ππ ππ¦ π 2

Ordenando la ultima expresiΓ³n:
1 ππ¦ ππ₯ = 1 2 πβ8 π 3 β16π¦ π 2 ππ ππ¦ β(π¦β8 π¦π 2 ) ππ ππ¦ π 2 ππ¦ ππ₯ =π Reemplazando En la ultima expresiΓ³n y factor izando 1 π 2 π 2 =β 16π¦ π 2 +π¦β8π¦ π 2 ππ ππ¦ +πβ8 π 3 Simplificando y ordenando π+8 π 3 =β(π¦+8π¦ π 2 ) ππ ππ¦ π 1+8 π 2 =βπ¦(1+8 π 2 ) ππ ππ¦ π=βπ¦ ππ ππ¦ Simplificando factores obtenemos: Separando Variables ππ¦ π¦ =β ππ π ππ¦ π¦ =β ππ π +πΆ Integrando miembro a miembro Por tanto la soluciΓ³n esta dada por πππ¦=βπππ+πππΆ πππ¦=ππ πΆ π π= πΆ π¦ π¦π=πΆ

π= πΆ π¦ Reemplazando En nuestro problema 8π¦ π 2 =β2π₯π+π¦ 8π¦ ( πΆ π¦ ) 2 =β2π₯ πΆ π¦ +π¦ 8π¦ πΆ 2 π¦ 2 =β 2π₯πΆ π¦ +π¦ Multiplicando por Y y simplificando π¦ 2 =8 πΆ 2 +2π₯πΆ Luego la soluciΓ³n General del problema es: π¦ 2 =8 πΆ 2 +2π₯πΆ

Resolver la siguiente ecuaciΓ³n diferencial , Respecto a la variable x
ππ ππ¦ ππ₯ +π ππ ππ¦ ππ₯ =π₯ ππ¦ ππ₯ =π Reemplazando π₯=πππ+π πππ Por tanto tiene la siguiente forma π₯=π(π¦,π) En este despeje no existe la variable Y: Pero sabemos que esta de manera implΓ­cita Dentro de la variable P, es decir: π=π(π¦) Por tanto, debemos seguir la misma regla; es decir, debemos derivar respecto de y ππ₯ ππ¦ = 1 π ππ ππ¦ +πππ π ππ ππ¦ 1 ππ¦ ππ₯ =( 1 π +πππ π) ππ ππ¦ 1 π = 1+ππππ π π ππ ππ¦ Simplificando y Separando Variables

ππ¦= 1+ππππ π ππ Integrando miembro a miembro ππ¦ = 1+ππππ π ππ+πΆ π¦=π+ππ πππ+πππ π+πΆ La soluciΓ³n de la ecuaciΓ³n Dif. se puede mostrar en sus 2 formas paramΓ©tricas Dadas de la siguiente manera: π₯=πππ+π πππ π¦=π+ππ πππ+πππ π+πΆ

Resolver la siguiente ecuaciΓ³n Diferencial Respecto ala variable x
π₯= ππ¦ ππ₯ +π ππ ππ¦ ππ₯ ππ¦ ππ₯ =π Reemplazando π₯=π+π πππ Por tanto tiene la siguiente forma π₯=π(π¦,π) Derivando respecto a la variable Y ππ₯ ππ¦ =(1+πππ π) ππ ππ¦ Modificando el primer miembro de la Ec. 1 π =(1+πππ π) ππ ππ¦ Separando Variables ππ¦ = π 1+πππ π ππ+πΆ ππ¦=π 1+πππ π ππ Integrando π¦=π π+π πππ β π πππ π+πΆ π¦= π ππ πππ+πππ π+πΆ Por tanto la S. G. π₯=π+π πππ En su forma paramΓ©trica Es: π¦= π ππ πππ+πππ π+πΆ

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