FUNCIONES

Introducción En la vida diaria nos encontramos (a veces sin darnos cuenta) con la noción de relación. Muchos modelos matemáticos se describen mediante el concepto de función. Un fabricante desea conocer la relación o correspondencia entre las ganancias de su compañía y su nivel de producción. Un biólogo se interesa en el cambio de tamaño de cierto cultivo de bacteria con el paso del tiempo. Un psicólogo quisiera conocer la relación o correspondencia entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una lista de palabras. Un químico le interesa la relación o correspondencia entre la velocidad inicial de una reacción química y la cantidad de sustrato utilizado, etc.

De acuerdo a la definición analicemos los siguientes diagramas sagitales donde A es el conjunto de partida y B es el conjunto de llegada. F1 es una función?

F2 es una función? F3 es una función?

F4 es una función? F5 es una función?

EJERCICIO 1

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

EJEMPLO1 Dada la relación representada en el siguiente diagrama sagital, hallar el Dom (F) y Ran(F)

EJEMPLO 2 Encontrar el rango y dominio de la función: De la definición tenemos que (2,5)=(2, 2a – b) ya que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde un solo elemento del conjunto de llegada. De igual manera para (-1, - 3)=( - 1,b – a)

FUNCIÓN REAL DE VARIABLES REAL

PROPIEDAD GEOMETRICA DE UNA FUNCIÓN EJEMPLO: No es una función porque la recta que se ha trazado paralela al eje Y corta a la curva en un solo punto. Es una función porque la recta que se ha trazado paralela al eje Y corta a la curva en un solo punto.

¿ Cuál es Función ?

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN INYECTICA O UNIVALENTE CLASES DE FUNCIONES FUNCIÓN INYECTICA O UNIVALENTE Una función F es inyectiva o univalente si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio.

RECONOCIMENTO GRÁFICO Si F es una función real de variable real inyectiva, entonces toda recta horizonatal debe cortar a su gráfica en un solo punto.

Ejemplo.

FUNCIONES IGUALES

Operaciones con funciones Sean dos funciones tal que y Suma de f y g Resta de f y g Producto de f y g Cociente de f y g

Ejemplo: Si f={(1,2),(5,3),(4,7),(8,1)} y g={(5,1),(8,0),(1,4)} Encontrar f+g, f-g, f.g,f/g

g○f={(x,g(f(x)))/xϵDom(g○f)} Dom(g○f)={xϵA/x ϵ Dom(f) ᴧ f(x) ϵ Dom(g)} COMPOSICION DE FUNCIONES Sean f:A→B y g:C→E entonces (g○f)(x)=g(f(x)) g○f={(x,g(f(x)))/xϵDom(g○f)} Donde: Ran(f) ∩ Dom(g) ≠ Ø Dom(g○f)={xϵA/x ϵ Dom(f) ᴧ f(x) ϵ Dom(g)} En la notación g○f, debe aplicarse primero la función f y después la función g.

Ejemplo: Dadas las funciones f={(-2,0),(-1,-4),(3,1),(5,2)} y g={(-2,-1),(0,3),(1,4),(2,0),(4,5)}, hallar: g○f Y f○g Resolución: f g

Para hallar g○f 1° Hallamos: Ran f= Dom g= 2° Obtenemos Ran(f) ∩ Dom(g) ={ } 3° Seleccionamos aquellos pares de g y f que admitan como segundas y primeras componentes a: 4° Determinamos la función g○f={ }

FUNCIÓN INVERSA Sea f una función inyectiva, se define su función inversa denotada por f-1 o f* de la siguiente manera: f*={(y,x)/x ϵ Dom f} Donde: Dom f*=Ran f y Ran f*=Dom f Ejemplo: Dada la función inyectiva definida por f={(2,1)(3,4),(4,2)} Su inversa viene dada por f*={(1,2),(4,3),(2,4)} donde Dom f¨*={1,4,2}=Ran f Ran f*={2,3,4}=Dom f

Dada la función f:y=2x-3 encontrar la función f* Resolución: ¿Es inyectiva?

EJERCICIOS 1

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