Representación gráfica de funciones EJEMPLO Representa gráficamente la función: f(x) = x3 – 3x2

Representa gráficamente la función: f(x) = x3 – 3x2 EJEMPLO SOLUCIÓN: 1. Dominio El dominio de f es todo R, todo valor de x (es un polinomio) 2. Puntos de corte con los ejes 2.1. Cortes con eje X (y = 0): x1 = 0 x2 = 3 (0, 0) (3, 0) x3 – 3x2 = 0  x2(x – 3) = 0 2.2. Corte con eje Y (x = 0): f(x) = 03 – 3·02 = 0 (0, 0)

Representa gráficamente la función: f(x) = x3 – 3x2 EJEMPLO 3. Comportamiento en el infinito 4. Asíntotas VERTICALES: No tiene HORIZONTALES: No tiene OBLICUAS: No tiene

f (x) = x3 – 3x2 f (x) = 3x2 – 6x x1 = 0 x2 = 2 Representa gráficamente la función: f(x) = x3 – 3x2 EJEMPLO 5. Intervalos de crecimiento f (x) = x3 – 3x2 Calculamos la primera derivada: f (x) = 3x2 – 6x x1 = 0 x2 = 2 La igualamos a cero: 3x2 – 6x = 0  3x(x – 2) = 0 Obtenemos el signo de f en los intervalos determinados por estos puntos: +  + Signo f  x = 0 y = 0 x = 2 y = – 4 Creciente: (–, 0) Decreciente: (0, 2) Creciente: (2, +)

 + f (0) = 6·0 – 6 = –6 < 0 f (x) = 6x – 6 Representa gráficamente la función: f(x) = x3 – 3x2 EJEMPLO 6. Máximos y mínimos Los posibles máximos y mínimos son: (0, 0) y (2, 0) Máximo: (0, 0) Mínimo: (2, – 4) +  Signo f  x = 0 y = 0 x = 2 y = -4 También podemos verlo con la derivada segunda: f (0) = 6·0 – 6 = –6 < 0 Máximo: (0, 0) f (x) = 6x – 6 f (2) = 6·2 – 6 = 6 > 0 Mínimo: (2, -4)

f (x) = 3x2 – 6x f (x) = 6x – 6 6x – 6 = 0  x = 1  + Representa gráficamente la función: f(x) = x3 – 3x2 EJEMPLO 7. Curvatura: f (x) = 3x2 – 6x Calculamos la derivada segunda: f (x) = 6x – 6 6x – 6 = 0  x = 1 La igualamos a cero:  +  x = 1 y = –2 Signo de f cóncava: (–, 1) convexa: (1, +) 8. Puntos de inflexión Los puntos de inflexión ocurren cuando la derivada segunda se hace cero: 6x – 6 = 0  x = 1 Punto de inflexión: (1, –2)

Representa gráficamente la función: f(x) = x3 – 3x2 EJEMPLO Resumimos la información obtenida: 1. Dominio: R 2. Puntos de corte con los ejes 2.1. Corte con eje X: (0, 0), (3, 0) 2.2. Corte con eje Y: (0, 0) 3. Limites cuando x tiende a infinito 4. Asíntotas: No tiene. 5. Intervalos de crecimiento Creciente: (-, 0)  (2, +) Decreciente: (0, 2) 6. Máximo: (0, 0) Mínimo: (2, -4) 7. Curvatura cóncava: (-, 1) convexa: (1, +) 8. Puntos de inflexión: (1, -2) 9. Dibujo de la gráfica Con los datos anteriores dibujamos la gráfica

Representa gráficamente la función: f(x) = x3 – 3x2 EJEMPLO Creciente: (-, 0) Decreciente: (0, 2) Creciente: (2, +) Cortes con eje X (0, 0) y (3, 0) Corte con eje Y (0, 0) Punto de infl. (1, -2) Máx. local (0, 0) cóncava: (-, 1) Mín. local (2, – 4) convexa: (1, +)

Representa gráficamente la función: f(x) = x3 – 3x2 EJEMPLO