Práctica 6 Integración Numérica

Integración Numérica Integral Definida: Cálculo Fórmula del Punto Medio Fórmula de los Trapecios Regla de Simpson Integración de Romberg Métodos Adaptativos Métodos de Newton-Cotes

Integral definida: Cálculo Regla de Barrow Pero... Funciones sin primitiva sencilla Datos experimentales

Fórmula del Punto Medio Simple Compuesta a b  h 

Punto Medio con paso variable Subintervalos Pesos (¡pasos!) Nodos Integral

Fórmula de los Trapecios Simple Error Exacta para polinomios de grado 1

Fórmula de los Trapecios Compuesta Error

Algoritmo de los Trapecios x0 x1 x2 ... xn  h  y0 y1 y2 yn

Algoritmo iterativo de trapecios Estimación actual Nuevos nodos Refinamiento iterativo

Algoritmo TRAPITER Entrada: a, b, n, tol, maxiter. Salida: I, incr, iter Proceso:Calcular IT[h] por trapecios con paso h Inicializar incr y el contador de iteraciones, iter Mientras incr > tol y iter < maxiter Hallar los nodos nuevos, x=[x1/2, x3/2 ... xn-1/2] Calcular el vector de ordenadas y = f(x) Refinar IT[h/2] = IT[h] /2 + h/2*sum(y) Calcular incr, incrementar iter Dividir h por 2 Actualizar IT[h]

Regla de Simpson Simple Error Exacta para polinomios de 3er grado

Regla de Simpson Compuesta Error

Extrapolación de Richardson Saber que el error de IT[h] es de orden 2, permite estimar la integral con error de menor orden, a partir de dos evaluaciones con distinto h.

Método de Romberg Estimaciones de Simpson Eliminación de la constante Fórmula de Romberg

Tabla de Romberg Expresión general Error de orden h2j Exacta para polinomios de grado 2j–1

Algoritmo de ROMBERG Entrada: a, b, n, tol, maxiter Salida: I, incr, k Proceso: Calcular I11 Inicializar incr, k Mientras incr > tol y k < maxiter Evaluar Ik1 refinando Ik-1,1 Inicializar j Mientras incr > tol y j < k Calcular Ikj Calcular incr Incrementar j Incrementar k

Métodos adaptativos Limitaciones del Método de Romberg Condiciones de convergencia Métodos adaptativos de MATLAB quad: Simpson adaptativo quad8: Newton-Cotes adaptativo (orden 8)

Métodos de Newton-Cotes Dados los nodos x0, x1, x2, ..., xn en [a,b], determinar pesos p0, p1, p2, ...,pn tales que para todo polinomio f(x) de grado < n, Sustituyendo f(x) = 1, x, x2, ... , xn, se obtiene un sistema lineal del que se despejan los pesos p0, p1, p2, ..., pn.

F I N