Práctica 4 Métodos Directos para Sistemas de Ecuaciones Lineales.

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1 Práctica 4 Métodos Directos para Sistemas de Ecuaciones Lineales

2 vAplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Lineales vMétodo de eliminación de Gauss vLimitaciones de los Métodos Directos

3 Una red eléctrica R1R1 R3R3 R4R4 R1R1 R2R2 R4R4 R1R1 R2R2 R4R4 R1R1 R2R2 R4R4 V I4I4 I3I3 I2I2 I1I1 a b cd

4 Una red de calles 300 200100 350 600400 450 600 500 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x6x6 x7x7 x5x5 A D B E C F

5 Matriz de incidencia

6 Ecuación del Calor vModelo matemático v Matriz asociada T 0 T 1 T 2...T n T n+1

7 Teorema de Rouché- Frobenius v El sistema A mn x = b es compatible si y sólo si rango(A) = rango(A|b) v Un sistema compatible es determinado sii rango(A) = n v Un sistema compatible indeterminado tiene n – rango(A) variables libres vSolución x c = x p + núcleo(A)

8 Eliminación de Gauss Operaciones elementales vEliminar fila i tomando la fila k como pivote  l ik = a ik / a kk, a ij = a ij  l ik * a kj  A(i,:) = A(i,:) - L(i,k)*A(k,:); vEscalar fila i dividiéndola por el pivote a ii s a ij = a ij / a ii  A(i,:) = A(i,:)/A(i,i); vPermutar las filas i y k s a ik a ki s A([i,k],:) = A([k,i],:);

9 vSistema inicial vTriangularización vSustitución regresiva Fases de la eliminación Ax = b Ux = c x = A –1 b

10 Factorización LU Sistema original Ax = b LUx = b LUx = b Sistemas triangulares Ly = b Ux = y »[L,U] = lu(a) »[L,U,P] = lu(a) vResolución de múltiples sistemas con la misma matriz. vInversa por el método de Jordan-Gauss

11 Limitaciones de los Métodos Directos vAcumulación del error de redondeo u Coste de la eliminación: O(n 3 ) vSensibilidad al error de redondeo u Sistemas mal o bien condicionados u Número de condición vEstrategia de Pivotación Parcial vLlenado de la matriz. u Matrices dispersas

12 Sensibilidad al error de redondeo vSistema mal condicionado : u Un pequeño cambio en la matriz causa un gran cambio en la solución. vSistema bien condicionado : u Pequeños cambios en la matriz causan pequeños cambios en la solución. vCondicionamiento de una matriz

13 Número de condición de una matriz  cond mide el mal condicionamiento cond(eye(n))=1 cond(matsingular) = inf  rcond mide el buen condicionamiento rcond(eye(n))=1 rcond(matsingular) = 0  rcond y det

14 Pivotación parcial vUn algoritmo deficiente puede arruinar un sistema bien condicionado. vEstrategia: Elegir como pivote el elemento de mayor valor absoluto del resto de la columna.  El operador \ para resolver Ax = b

15 Matrices Dispersas vCreación de matrices dispersas u sparse(A) u full(a) u speye(n)  Operaciones usuales  + - * \ lu vOtras funciones de MATLAB u issparse(A) u spy(a)

16 Matrices estructuradas vMatrices banda vMatrices tridiagonales vEcuación del Calor vCoste de las operaciones con matrices dispersas vEliminación en sistemas tridiagonales