UNIDAD No. 3 Aplicaciones de la integral definida Longitud de arco de curvas planas
LONGITUD DE ARCO DE CURVAS PLANAS Considérese una función f(x) finita, continua y positiva en todo punto de algún intervalo [a,b]. Sea L la longitud del arco definido por f(x) desde x=a hasta x=b. ¿Cuál es el valor la longitud de arco de la curva plana?
LONGITUD DE ARCO
LONGITUD DE ARCO... Es posible aproximar el valor de la longitud de arco mediante la consideración de UN segmento de recta entre los DOS puntos x=a y x=b.
LONGITUD DE ARCO... Podemos mejorar la aproximación dada en el proceso anterior, considerando en lugar de uno, ahora DOS segmentos de recta entre TRES puntos.
LONGITUD DE ARCO... Podemos mejorar aún más la aproximación dada en el proceso anterior, considerando en lugar de dos, ahora TRES segmentos de recta entre CUATRO puntos.
LONGITUD DE ARCO... Considerando un gran número (n) de segmentos de recta sobre la curva de f(x) es posible mejorar aún más la aproximación de la longitud de arco. Pero ¿cómo se determina la longitud de cada uno de los segmentos?
LONGITUD DE ARCO... De acuerdo con el Teorema de Pitágoras: Por lo tanto:
LONGITUD DE ARCO... Si multiplicamos y dividimos por :
LONGITUD DE ARCO... Es claro que la aproximación a la longitud de arco puede ser cada vez mejor entre mayor sea el número de segmentos de recta considerados, pero será igual sólo considerando el valor límite cuando el número de segmentos sea infinito. Así:
LONGITUD DE ARCO... Lo anterior también puede ser expresado mediante la integral definida como:
PROBLEMAS Determinar la longitud de la gráfica de la ecuación dada en el intervalo indicado. En los siguientes problemas exprese sin evaluar la integral