Producto escalar
Índice Definición de Producto escalar Propiedades Producto escalar por componentes (dem) Practicamos Practicáis vosotros…
Producto escalar a · b = | a |·| b |·cos(α) donde α es el ángulo que forman Propiedades: a) Conmutativa: a ·b = b ·a b) Asociativa: K( a · b) = (Ka ) ·b c) Distributiva: a·( b + c) = a · b + a · c
Producto escalar ¿Problema? a · b = | a |·| b|·cos(α) Esta definición no es nada cómoda… ¡necesitamos conocer el ángulo que forman los vectores! a · b = | a |·| b|·cos(α)
Producto escalar (por componentes) Hay otra forma de realizar el producto escalar… Si a = (a1, a2) y b = (b1, b2) a · b = a1b1 + a2b2 Pero como no nos lo creemos… lo demostramos.
Demostración a = (a1, a2) = a1 i + a2 j b = (b1, b2) = b1 i + b2 j a · b = (a1 i + a2 j )·(b1 i + b2 j ) = = (a1 i)·(b1 i) + (a1 i)·(b2 j) + (a2 j)·(b1 i) + (a2 j)·(b2 j) = = a1b1 i · i + a1b2 i · j + a2b1 j · i + a2b2 j · j = = a1b1 i · i + a2b2 j · j = = a1b1 + a2b2
Demostración i · i = 1 j · j = 1 j · j = 0 ¿Por qué? i · i = | i || i | cos0 = 1·1·1 = 1 j · j = | j || j | cos0 = 1·1·1 = 1 i · j = | i || j | cos90 = 1·1·0 = 0
Producto escalar Y todo esto… ¿para qué sirve? Un ejemplo, para saber si dos vectores son perpendiculares o no. Ejemplo: a = (2,3) b = (3,-2) a · b = 2·3 + 3·(-2) = 6 – 6 = 0 Los vectores a y b son perpendiculares entre sí.
Practiquemos ¿Y al revés? Dado el vector (1,-2) sabrías invéntate uno que sea perpendicular a éste?
Practiquemos ¿Y al revés? Dado el vector (1,-2) sabrías invéntate uno que sea perpendicular a éste? El (2,1) por ejemplo. Comprobación: 1·2 + (-2)·1 = 2 – 2 = 0 Obs: Cualquier vector proporcional a éste también valdría. Por ejemplo, (4,2)