@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 ÁNGULOS ENTRE RECTAS Bloque II * Tema 069.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 ÁNGULOS ENTRE RECTAS Bloque II * Tema 069

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 1.-PARTIENDO DE LOS VECTORES DIRECTORES Sea la recta r: Ax+By+C = 0 y la recta s: A’x+B’y+C’=0 Sus vectores directores serán: u(-B, A) y u’(-B’, A’) respectivamente. Mediante el producto escalar, u.u’ =|u|.|u’|.cos α, obtenemos el ángulo: cos α = u.u’ / |u|.|u’| ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS (-B, A).(-B’, A’) cos α = -------------------------------- √(A 2 +B 2 ). √(A’ 2 +B’ 2 ) | A.A’+B.B’| cos α = -------------------------------- √(A 2 +B 2 ). √(A’ 2 +B’ 2 ) | A.A’+B.B’| α = arcos -------------------------------- √(A 2 +B 2 ). √(A’ 2 +B’ 2 ) La solución será doble, pues por una parte nos dará α y también el suplementario β β u r u’ s α

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 Ejemplo 1 Hallar el ángulo que forman las rectas r: 3x+4y+8 = 0 y la recta s: x+y=0 Sus vectores directores serán: u(-4, 3) y u’(-1, 1) respectivamente. Por el producto escalar: | (-4).(-1)+3.1| 7 α = arcos -------------------------------- = arcos ---------- = arcos 0,9899 √((-4) 2 +3 2 ). √((-1) 2 +1 2 ) 5. √2 α = 8,13º  Y el suplementario: β = 171,87º Ejemplo 2 Hallar el ángulo que forman las rectas r: x – y = 0 y la recta s: x + y = 0 Sus vectores directores serán: u(1, 1) y u’(-1, 1) respectivamente. Por el producto escalar: | 1.(-1)+1.1| 0 α = arcos -------------------------------- = arcos ---------- = arcos 0 √(1 2 +1 2 ). √((-1) 2 +1 2 ) √2.√2 α = 90º  Y el suplementario: β = 90º

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 2.-PARTIENDO DE LAS PENDIENTES Sea la recta r: Ax+By+C = 0 y la recta s: A’x+B’y+C’=0 Ambas forman un ángulo α y β con el eje de las X Las pendiente m y m’ serán: m = tg α, m’= tg β El ángulo que forman las dos rectas es la diferencia γ = β – α ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Por la fórmula de Nepper o de las tangentes, tenemos: tg α – tg β tg γ = | --------------------- | 1 + tg α.tg β m – m’ tg γ = | -------------- | 1 + m.m’ Para un ángulo 0 ≤ γ ≤ 90º β r s α β α γ

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 ANEXO.-RECTAS PERPENDICULARES Por la fórmula de Nepper o de las tangentes, tenemos: m – m’ tg γ = | -------------- | 1 + m.m’ El ángulo que forman las dos rectas es de 90º, γ = 90 tg 90º = oo = (m – m’ ) / 0 De donde: 1 + m.m’ = 0  m’ = –1 / m Ejemplo Hallar la recta perpendicular a r:4x – 2y + 7 = 0 y que pasa por el punto A(5, -5) En la recta r: m=-B/A = 2/4 = 0,5 En la perpendicular: m’=-1/0,5 = - 2 Por la ecuación punto-pendiente: y – (– 5)= – 2.(x – 5) y = – 2x + 5 β r s α β α γ

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 Problema Hallar los ángulos que forman los lados del triángulo cuyos vértices son: A(0,0), B(5, -2) y C(3,2) Los vectores directores de los lados serán: AB(5, -2), BC(-2, 4) y CA(-3, -2) Ángulo del vértice A: | (5).(-3)+(-2)(-2)| 11 A = arcos ------------------------------------- = arcos ----------- = arcos 0,5665 √(5 2 +(-2) 2 ). √((-3) 2 +(-2) 2 ) √29.√13 A = 55,49º Ángulo del vértice B: | (5).(-2)+(-2).4| 18 B = arcos ------------------------------------- = arcos ----------- = arcos 0,7474 √(5 2 +(-2) 2 ). √((-2) 2 +4 2 ) √29.√20 B = 41,63º El ángulo C valdrá: C=180º – A – B = 180º – 55,49º – 41,63º = 82,87º Que se puede comprobar aplicando lo mismo que para A y B.