Profesora: Eva Saavedra G. ANGULOS ORIENTADOS SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS RAZONES TRIGONOMETRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA GONIOMETRICA Profesora: Eva Saavedra G.

Ángulos positivos y negativos En la Trigonometría, es importante la orientación o sentido que tienen los ángulos. La orientación o sentido de un ángulo está determinada por la dirección en que gira uno de sus rayos mientras el otro permanecer fijo y se mantiene fijo Gira en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj B o Angulo AOB es un ángulo positivo A x

gira en el mismo sentido que el movimiento de los punteros del reloj B Se mantiene fijo gira en el mismo sentido que el movimiento de los punteros del reloj Angulo AOB es un ángulo negativo

Angulo AOB positivo, es un ángulo del cuadrante II Dependiendo del cuadrante en que se halle el lado términal de un ángulo se dice que este ángulo es del cuadrante I, II, III o IV. B Angulo AOB positivo, es un ángulo del cuadrante II O A D Angulo COD negativo, es un ángulo del cuadrante I O C

Sistemas de medición de ángulos Sistema sexagesimal: La unidad de medida es el grado sexagesimal, lo que se anota 1º. Esta unidad corresponde a la medida de un ángulo del centro que subtiende un arco igual a la trescientas sesenta ava parte de la circunferencia. Así: 1º = 60‘ y 1‘ = 60" 1º = 60‘ = 3.600"

E J E M P L O 1 Expresar en grados: 27º 54' 18" Solución: 27º 54' 18" = 27º + 54' +18" Transformamos los minuto a grados : Transformamos los segundos a grados: Por lo tanto: 27º 54' 18" = 27º + 0,9º + 0,005º = 27,905º

E J E M P L O 2 Calcular a cuántos grados, minutos y segundos equivalen 7,34º Solución: Sabemos que: 7,34º = 7º + 0,34º Transformar las centésimas de grado a minutos: De donde : 20,4‘ = 20‘ + 0,4‘, Transformamos las décimas de minuto a segundos: Por lo tanto: 7,34º = 7º + 20‘ + 24” = 7º 20‘ 24”

SISTEMA RADIAL En este sistema la unidad de medida es el radián ( 1 rad). Esta unidad equivale a un ángulo del centro que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia B r r O r A

Equivalencias entre radianes y grados La longitud de la circunferencia de radio r es , si dividimos su longitud por el radio obtendremos los radianes de un ángulo de 360º, por ello la equivalencia entre ambos es :

Como sabemos , el radio está contenido 2π veces en la circunferencia, esto permite expresar: Por ello, la medida en grados sexagesimales de 1 radián es:

E j e m p l o s Convertir en radianes: Convertir en grados sexagesimales:

Convertir en grados sexagesimales:

A C T I V I D A D Exprese en grados, minutos y segundos, o en notación decimal, según corresponda: 110,01º 30º15‘4“ -175º12'

Actividad Exprese en π radianes 360º = 180º = 90º = 60º = 45º = 30º =

Razones trigonométricas de ángulos complementarios Sea el triángulo rectángulo ABC, recto en C C B A

La circunferencia goniométrica Y Se llama así a toda circunferencia cuyo radio se considera de medida unitaria ( 1u) y tiene su centro en el origen O(0,0) de un sistema de coordenadas cartesiano. P(x,y) r =1u O x Esta circunferencia es un elemento auxiliar utilizado para definir el valor y el signo de las razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida.

Valores y signos de las razones trigonométricas en el primer cuadrante 1 P(x,y) 1 1 -1 X -1

Medidas del ángulo Razón Signo Rango +

Valores y signos de las razones trigonométricas en el segundo cuadrante 1 -1 X -1

Medidas del ángulo Razón Signo Rango + -

Valores y signos de las razones trigonométricas en el tercer cuadrante 1 -1 1 X -1

Medida del ángulo Razón Signo Rango _ +

Valores y signos de las razones trigonométricas en el cuarto cuadrante 1 -1 1 X -1

Medida del ángulo Razón Signo Rango _ +

A c t i v i d a d 1) Indique el signo de las razones trigonométricas de los ángulos dados. sen 135º b) cos 240º c) tg 298º d) sec 156º 2) Calcule el valor numérico y signo de las expresiones siguientes. a) sen180º + 3sen270º - 4cos270º -5 sec 180º -6 cosec270º = b) tg 180º - 2 cos 180º + 3 cosec 270º + sen 90º c) sen 0º + 3 cotg 90º + 5 sec 180º - 4 cos 270º =

A c t i v i d a d 3.-Exprese en radianes o en grados, minutos y segundos sexagesimales, según corresponda, las siguientes medidas angulares: a)150º b) 55º 30' c) 72º15‘ d) -540º e) f) g) 120º 35' 18“ h) 5,8 rad i) 22,5º j) k) l ) 270º

A c t i v i d a d 4. Indique a qué cuadrante pertenecen los ángulos que cumplen las siguientes condiciones: a) El coseno y la tangente son positivos b) La cosecante y el coseno son negativos c) El seno y el coseno tienen igual signo d) El coseno y la tangente son negativos e) El seno y el coseno tienen distinto signo

A c t i v i d a d 3. Complete la tabla: Medida ángulo Cuadrante Razón Signo Rango