Trigonometría..

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1 Trigonometría.

2 Trigonometría. ÍNDICE. Ángulos y medida de ángulos
Razones trigonométricas de un ángulo agudo Relación fundamental de trigonometría Resolución de triángulos rectángulos Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera Reducción de las razones trigonométricas Suma y diferencia de ángulos Ángulo doble y ángulo mitad Ecuaciones trigonométricas Teorema de los senos Teorema del coseno Área de un triángulo

3 Ángulos. Lado final  Ángulo Vértice lado inicial Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen (VÉRTICE). Si introducimos un sistema de ejes cartesianos, se representa el ángulo con vértice en el origen de coordenadas y se hace coincidir el lado inicial con el eje positivo de abcisas

4 Medida de ángulos: sistema sexagesimal
Se llama grado sexagesimal, o simplemente grado (1º) a la medida del ángulo que resulta de dividir el ángulo recto en noventa partes iguales. Por tanto, el ángulo recto mide 90º. El transportador de ángulos. El transportador de ángulos es una herramienta de dibujo que nos permite medir y también construir ángulos. Consiste en un semicírculo graduado con el que podemos medir ángulos convexos (hasta 180º) Divisores del grado. Existen dos métodos para conseguir mayor precisión en la medida de un ángulo: el sistema decimal, que consiste simplemente en obtener decimales del grado, que es el método que utiliza el transportador de ángulos, o el sistema sexagesimal, que consiste en dividir el grado en 60 partes, en 60 minutos (60'); y cada minuto, en 60 segundos (60'').

5 Medida de ángulos: radian.
Se llama radián, a la medida del ángulo que comprende un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia. Por tanto el ángulo completo mide 2p radianes.

6 Suma de ángulos La medida de los ángulos, igual que la del tiempo, se realiza en el sistema sexagesimal. 2º  48'  35" +  2º  45'  30"   4º  93'  65" Como 65 segundos equivalen a 1 minuto y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así: 4º  94'  5" De la misma forma, 94' equivalen a 1º y 34 minutos. Luego la suma es: 5º  34'  5"

7 Resta de ángulos Debemos hacer la siguiente operación: 3º 0' 0"
3º   0'   0" -  2º  48'  35"   Igual que en la suma, deberíamos restar por separado los grados, los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos un grado en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 grados se convierten en 2º 59' 60“ 2º  59'  60" 0º 11' 25"

8 Ángulos: producto por un número
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior. 18º  26'  35"              x  3    54º  78' 105" Pero 105" = 1' 45", luego 54º  79'  45" Pero 79' = 1º 19', será º 19' 45"

9 Ángulos: división por un número
Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.

10 Transformación de medidas
Teniendo en cuanta que una circunferencia tiene 306º y 2. rad., la relación entre ambos sistemas es la siguiente Si un ángulo  tiene nº, su medida en radianes (rad.) será Si un ángulo  tiene x rad., su medida en grados (º) será

11 Razones trigonométricas de ángulo agudo.
Dado un ángulo agudo  (entre 0º y 90º) formado por dos semirrectas r, s C C’ B B’ Si trazamos dos rectas perpendiculares t y t’ a la semirrecta s, que se cortan en los puntos B y C, y B’ y C’ respectivamente, teniendo en cuenta el teorema de THALES se cumple r A s Ha dichas razones que solamente dependen del ÁNGULO, se les denomina RAZONES TRIGONOMÉTRICAS de Â.

12 Razones trigonométricas de ángulo agudo.
Dado un ángulo agudo  (entre 0º y 90º) formado por dos semirrectas r, s C B r A s C B Si trazamos una recta perpendicular t (CB) a la semirrecta s, y utilizamos el triángulo ABC, para calcular las RAZONES TRIGONOMÉTRICAS, denominamos:

13 Ejemplo. Si  es un ángulo agudo y sabemos que cos =  = 4/5. Calcular las restantes razones trigonométricas. SOLUCIÓN: Dado que podemos construir un triángulo rectángulo cuyo ángulo agudo  cumpla que cos  = 4/5 = cateto contiguo/hipotenusa , podemos calcular: b =  ( c ² - a ² ) =  ( 5 ² - 4 ² ) = 3 Luego cos  = 4/5 sen  = 3/5 tg  = 3/4 cosec  = 5/3 sec  = 5/4 cotg  = 4/3 c = 5 b = 3 a = 4

14 Razones trigonométricas de ángulos agudos notables
Sen Cos Tan Cosec Sec cotan 30º 1/2  3 / 2  3 / 3 2 2  3 / 3  3 45º  2 / 2 1  2 60º 1 / 2

15 Relación fundamental de la trigonometría.
Relación FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA (1) Dividiendo la igualdad por sen² Â, (1) obtenemos: Dividiendo la igualdad (1) por cos² Â, obtenemos:

16 Ejemplos. 1. Si sabemos que el seno de un ángulo agudo es sen  = ½. Calcular cos  Solución: Aplicando la relación fundamental de trigonometría 2. Si sabemos que la tangente de un ángulo agudo es tg  = 1. Calcular cos  y sen  Solución: Aplicando la relación trigonométrica

17 Resolución de triángulos rectángulos.
Resolver un triángulo rectángulo de catetos a y b y de hipotenusa c, consiste en hallar las medidas de los lados y de los ángulo agudos A y B A b c C a A a) Conocidos dos lados. Ejemplo si sabemos que c = 8 y a = 5 b) Conocidos un lado y un ángulo. Ejemplo si sabemos que b = 3 y A = 47º Aplicación de la trigonometría para calcular una altura inaccesible.

18 Razones trigonométricas.
Dado un ángulo cualquiera 360.n +  (donde n es entero y 0º ≤  ≤ 360º) sobre la CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA de centro el origen de coordenadas y radio 1 ( es positivo en sentido contrario al reloj) . Como el radio de la circunferencia es 1 (hipotenusa del triángulo rectángulo de vértices{(0,0), (x,0), (x,y)} ), se cumple Sen  = y / 1 = y Cos  = x / 1 = x Tan  = Sen  / Cos  = y / x Si 0º <  < 90º  Sen  > 0 , Cos  > 0. Si 90º <  < 180º  Sen  > 0 , Cos  < 0. Si 180º <  <  Sen  < 0 , Cos  < 0. Si 270º <  < 360º  Sen  < 0 , Cos  > 0.

19 Ejemplo. Si  es un ángulo situado en el 3º cuadrante y se conoce que sen  = -1/3. Calcular el resto de las razones trigonométricas Solución: Como sen  = -1/3 = y. Utilizando el teorema de Pitágoras, pero teniendo en cuenta que x < 0, será:

20 Razones trigonométricas de 0º, 90º, 180º, 270º y 360º.
Ángulo Sen Cos Tan Cosec Sec cotan 0º 1 +  90º 180º - 1 -  270º -1 360º

21 Reducción de las razones trigonométricas.
Las razones del ÁNGULO COMPLEMENTARIO de  = 90º - Â, cumplen: 90º- h y  x Sen (90º -  ) = y / h = Cos  Cos (90º -  ) = x / h = Sen  Las razones del ÁNGULO SUPLEMETARIO de  = 180º - Â, cumplen: Sen (180º -  ) = Sen  Cos (180º -  ) = - Cos  Las razones del ÁNGULO que DIFIERE 180º de  = 180º + Â, cumplen: Sen (180º +  ) = - Sen  Cos (180º + ) = - Cos  Las razones del ÁNGULO OPUESTO de  = - Â, cumplen: Sen (-  ) = - Sen  Cos (-  ) = - Cos Â

22 Suma y diferencia de ángulos.
Cos (  -  ) = Cos  . Cos  + Sen  . Sen  Cos (  +  ) = Cos  . Cos  - Sen  . Sen  Sen (  +  ) = Sen  . Cos  + Sen  . Cos  Sen (  -  ) = Sen  . Cos  - Sen  . Cos  tg  + tg  tg (  +  ) = 1 - tg  . tg  tg  - tg  1 + tg  . tg  Ejemplo: Sen 75º = sen ( 30º + 45º ) = sen 30º . Cos 45º + sen 45º . Cos 30º = = (1/2).( 2/2) + (2/2).(3/2) = (1/4). (2 + 6)  0,9659 Cos 75º = Cos ( 30º + 45º ) = Cos 30º . Cos 45º - sen 45º . sen 30º = = (3/2).(2/2) – (1/2).(2/2) = (1/4). (6 - 2)  0,2588 tg 15º = tg ( 45º - 30º ) = ( tg 45º - tg 30º ) / ( 1 + tg 45º . tg 30º ) = = (1 – (3/3) ) : ( 1 + (3/3) ) = 3  - 0,2678 Ver demostraciones

23 Ángulo doble y ángulo mitad.
Ver demostraciones Cos ( 2  ) = Cos²  - Sen²  Sen ( 2  ) = 2 Sen  . Cos  2 tg  tg ( 2  ) = 1 – 2 tg  1 + cos  Cos (/2) =  (el signo  depende del cuadrante donde esté /2) 2 1 - cos  Sen (/2) =  (el signo  depende del cuadrante donde esté /2) Sen (/2) tg (/2) = Cos (/2) 2

24 Ejemplos. 1.- Si tg  = -2/5 y /2 <  < . Calcular el seno, coseno y tangente de  . SOLUCIÓN: Utilizando tg² + 1 = 1 /cos² , y teniendo en cuenta que /2 <  < .. Será cos  = -  (tg² + 1)-1 = - 5 /  29 sen  = tg  . cos  = 2 /  29 Luego: sen 2 = 2 sen  . cos  = 2.(2 /  29).(- 5 /  29) = - 20 /29 cos 2 = cos²  - sen²  = (25 /29) - (4/29) = 21/ 29 tg 2 = 2 tg  / (1-tg² ) = - 20 / 21

25 Ejemplos. 2.- Si cos  = -4/5 y  <  < 3 / 2. Calcular el seno, coseno y tangente de /2 . SOLUCIÓN: Utilizando sen² + cos²  = 1 y teniendo en cuenta que  <  < 3 / 2. Será sen  = - (1-cos² ) = - 3 / 5 tg  = sen  / cos  = 3 / 4 Como  <  < 3 / 2   / 2 <  /2 < 3 / 4, será :

26 Ecuaciones trigonométricas
Son aquellas en las que las incógnitas aparecen bajo los signos de razones trigonométricas Ejemplo: 1.- Resolver la ecuación sen 2x – sen x = 0 Solución: Si lo resolvemos primero en el intervalo [0 , 2 ) , será Sen 2x – sen x = 0  sen 2x – sen x = 0  2.sen x. cos x – sen x = 0   Sen x . (2.cos x – 1 ) = 0  { sen x = 0 ; cos x = ½ } De la ecuación: sen x = 0  x = { 0 ,  } De la ecuación: cos x = 1/2  x = { /3 , 5/3 } Luego la solución en el intervalo [0 , 2 ) , será : x = { 0, /3 ,  , 5/3 } Si queremos todas las posibles soluciones, teniendo en cuenta que dichas soluciones se repiten cada 2.k. vueltas (con k un número entero cualquiera), las soluciones serán: x = {{ k. , /3 + 2.k. ,  + 2.k. , 5/3 + 2.k. }: k ℤ }

27 Teorema de los senos Ver demostración En todo triángulo ABC (y de lados a, b, c) se verifica que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos Ejemplo: Resolver el triángulo Solución: Como resolver el triángulo consiste en hallar los lados y los ángulos desconocidos, y en este caso se conoce A, B y el lado c. Será C = 180º - ( 73º + 38º 5’ ) = 68º 55’ a / sen A = c / sen C  a = ( c.sen A) / Sen C = = ( 10. sen 38º 5’ ) / ( sen 68º 55’ ) = 6,61 m. b / sen B = c / sen C  b = ( c.sen B) / Sen C = = ( 10. sen 73º ) / ( sen 68º 55’ ) = 10,24 m.

28 Interpretación geométrica del teorema de los senos
Si consideramos el triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio r, se cumple

29 Interpretación geométrica del teorema de los senos
Demostración Como el triángulo ADC es rectángulo en A por que abarca un arco de 180º y, además: sen D = b / CD = b / 2r Pero como B = D, por ser ángulos inscritos que abarcan el mismo arco. Será

30 Teorema del coseno En todo triángulo ABC (de lados a, b, c) se verifica que el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del producto de estos por el coseno del ángulo que lo forman. Ver demostración

31 Teorema del coseno Ejemplo: Un topógrafo situado en la llanura observa dos picos de una montaña con un ángulo de 60,3º. Si la distancia del observador a cada uno de los picos es de 1,3 km. Y 980 m. Hallar la distancia entre los dos picos de esas montañas Solución: Utilizando el teorema del coseno a2 = b2 + c2 -2bc cos A. Será: a = ( b2 + c2 -2bc cos A) = = ( cos 60,3º) =  m.

32 Área de un triángulo Para calcular el área de un triángulo ABC podemos utilizar la trigonometría. Siendo el Área el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que lo forman Basta tener en cuenta que Área = ½ base . Altura = ½ c.h Y teniendo en cuenta que h = b sen A, será Basta tener en cuenta que Área = ½ base . Altura = ½ b. c.sen A Ejemplo: Si en el triángulo de la figura A = 30º, b = 10 cm. y c = 15 cm. Calcular el área del triángulo. Solución: Área = ½ . b. c. sen A = ½ sen 30º = 37,5 cm2

33 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( En la siguiente diapósitiva

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37 Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas
Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina ( En la siguiente diapósitiva

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