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INSTITUCIÓN EDUCATIVA “MANUEL E
INSTITUCIÓN EDUCATIVA “MANUEL E. MENDOZA” El Carmen de Bolívar - Colombia Prof. Lic. JORGE FERRER S. Ferrermiprofe.worpress.com
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TRIGONOMETRÍA
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ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN
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Concepto de ángulo Es la región del plano situada entre dos semirrectas que tienen un origen común. Las dos semirrectas se llaman LADOS y el origen común se llama VERTICE. Un ángulo se genera (origina) por la rotación de uno de sus lados. B O C
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B Lado final Vértice A C Lado inicial
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Formas de nombrar un ángulo
Utilizando tres letras mayúsculas: una en un punto de cada lado y la otra en el vértice Leemos “ ángulo A“ Se escribe < BAC C A B
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Escribiendo una letra griega entre los lados
β Leemos: ángulo beta Escribimos : < β * Consultar las letras griegas con sus respectivos nombres
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Colocando una letra mayúscula en el vértice
se escribe : < A ángulo A se lee: “ángulo A” ángulo B ángulo C A A B
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Ángulos trigonométricos
Ángulos positivos: son aquellos que se generan haciendo la rotación del lado inicial, en sentido contrario a la rotación de las manecillas de un reloj. Lado final 45º Lado inicial
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Ángulos negativos: son aquellos que se generan haciendo la rotación del lado inicial, en el sentido de la rotación de las manecillas de un reloj. Lado inicial - 45º Lado final
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Ángulos en Posición Normal
Un ángulo está en posición normal si su vértice coincide con el origen del plano cartesiano y el lado inicial con el semieje positivo de las x.
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Pueden ser: Ángulos del primer (I) cuadrante
Ángulos del segundo (II) cuadrante Ángulos del tercer (III) cuadrante Ángulos del cuarto (IV) cuadrante II I III IV
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y II I (x , y) (- , +) (x , y) (+ , +) x III IV (x , y) (- , -) (x , y) (+ , -)
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Ángulos del Primer Cuadrante
Un ángulo θ es del primer (I) cuadrante si es mayor que 0º y menor que 90º, es decir, 0º < θ < 90º I cuadrante Ej. Θ = 60º 60º
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Ángulos del segundo Cuadrante
Un ángulo θ es del segundo (II) cuadrante si es mayor que 90º y menor que 180º, es decir, 90º < θ < 180º 130º II cuadrante Ej. Θ = 130º
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Ángulos del tercer Cuadrante
Un ángulo θ es del tercer (III) cuadrante si es mayor que 180º y menor que 270º, es decir, 180º < θ < 270º III cuadrante Ej. Θ = 240º 240º
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Ángulos del cuarto Cuadrante
Un ángulo θ es del cuarto (IV) cuadrante si es mayor que 270º y menor que 360º, es decir, 270º < θ < 360º IV cuadrante Ej. Θ = 300º 300º x
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Ángulo Giro o Completo Es aquel que se genera cuando el lado inicial hace una rotación de una vuelta o un solo giro. Su valor es de 360º. Θ = 360º Θ x
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Ángulos Complementarios
Dos ángulos A y B son complementarios, si la suma de ellos es igual a 90º. Es decir, Si A y B son complementarios, A + B = 90º Ej: 30º y 60º ; 20º y 70º
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Ángulos Suplementarios
Dos ángulos A y B son suplementarios, si la suma de ellos es igual a 180º. Es decir, Si A y B son suplementarios, A + B = 180º Ej: 120º y 60º ; 30º y 150º
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Ángulos Coterminales Dos ángulos son coterminales si sus lados iniciales y terminales coinciden respectivamente. 120º y º 100º y 460º
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Ángulo Central Es aquel cuyo vértice es el centro de un círculo y los lados cortan a la circunferencia en uno, o, en dos puntos C y x < BAC con arco ByC < BAC con arco BxC A B
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SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
Sistema Sexagesimal Sistema Cíclico Sistema Centesimal
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Es aquel en el que las unidades varían de 60 en 60 unidades.
Sistema Sexagesimal Es aquel en el que las unidades varían de 60 en 60 unidades. Unidades : Su unidad principal es el GRADO (º), que se define como la trescientos sesenta ava parte del ángulo giro. 1º = (1/360) del ángulo giro
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OBSERVEMOS: 1 vuelta completa Ξ 1 ángulo giro = 360º 1 vuelta completa = 360º 1/2 Vuelta = 180º 1/4 de vuelta = 90º 3/4 de vuelta = 270º 90º 180º 0º 360º 270º
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OTRAS UNIDADES El minuto (´) y el segundo (´´) 1º = 60´ 1´ = 60´´ Medida de una Circunferencia = 360º
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ACTIVIDADES Expresar en grados, minutos y segundos
los siguientes ángulos: 40,28º 5259´´ 325,4´ 356´ 125´´ E. 36° 158´ 305´´
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Sistema Cíclico Llamado también Sistema Circular; porque la medida de los ángulos se hace con referencia al círculo. La unidad de medida utilizada en éste sistema es el Radián.
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Radián Es la medida del ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. Si AB = r, entonces, < O = 1 radián B r r r A
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Medida en radianes de una Circunferencia
Longitud de la circunferencia mC = radio 2πr mC = = 2 π r mC = 2 π rad
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Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el cíclico
360° = 2 π rad Equivale a decir, 180° = π rad
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Conversión de unidades
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De Grados a Radianes Expresar en radianes un ángulo de 30°. Solución:
Formamos una regla de tres simple, así : ° π rad 30° x
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Luego, ° ( π rad) π x = = rad ° π Por lo tanto, 30° = rad
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Conclusión: Para expresar de grados a Radianes, multiplicamos la cantidad de grados , por el factor de conversión, π y simplificar, si es posible °
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Usemos este factor de conversión
2. Expresar en radianes, un ángulo de 150°. Solución: π 150° = 1 5 0° rad 1 8 0° 15 π π 150° = rad = rad.
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Ahora, vamos a practicar
Expresar en radianes los siguientes ángulos 45° 60° 120° 210° 330°
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De Radianes a Grados Expresar en grados un ángulo de 5 π
4 Solución: Planteamos una regla de tres, similar a la anterior : 180° π rad x π / 4
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Entonces, π ° X = π Cancelamos los π , y simplificamos a 180° con el 4 , nos queda,
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45° ° π ° X = = 45° x 5 = 225° π Por lo tanto, 5 π / 4 rad = 225°.
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Conclusión: Para expresar de radianes a grados, multiplicamos la cantidad de radianes, por el factor de conversión, ° , y simplificar, si es π posible.
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Usemos este factor de Conversión
2. Expresar en grados un ángulo de 2 π rad. 3 Solución: 60° 2 π 180° 2 π / 3 rad = = 2x60° =120° 3 π 1
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Ahora, vamos a practicar
Expresar en grados los siguientes ángulos π /3 rad 4 π / 3 rad 5 π /12 rad 3 π / 2 rad π / 4 rad
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