Fundamentos de Control Realimentado Clase 26-28 Versión 1 - 2014 Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2014. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

Criterio de Estabilidad de Nyquist Contenido: Aplicación del Criterio de Nyquist a SC Vínculos entre CN, LR y DB Estabilidad y Márgenes de Estabilidad Sistemas con Retardo Puro Método de diseño de un SC en la frecuencia Compensadores PD para cumplir un Ancho de Banda

¿Cómo simplificar el análisis con el DN? Para diseños de SC es más conveniente aplicar la ecuación característica: DG(jw)+1/K=1/((jw)(jw+1)+1/K=0 para la construcción del DN Con ello, en lugar de representar múltiples curvas, se usa una sola, por ejemplo la de K=1 (una buena elección), o la de K=K*. Plano s Re(s) Im(s) -1 C2 KDG=-1 Plano s Re(s) Im(s) C2 DG=-1/K w=- w>0 w=0+ w=0- w<0 K1 w= K=1 w>0 w=0+ w=0 - w<0 w=- w= K3 K2 -1 -1 K1 -1 K2 -1 K3 K3>K2>1>K1>0

Curva de Nyquist vs. Lugar de la Raíz jw s C1 f2,3,4 f1 0 - 0+ K=1 w>0 w=0 - w<0 w= Plano s Re(s) Im(s) -1 w=0+ -1 jw s w=0+ w=0 - Plano s Re(s) Im(s) C1 C2 f2,3 f1 0 - 0+ K=1 w>0 w<0 w= -1 jw s - 0.5 C1 C2 f2 f1 0 - 0+ K=1 w>0 w=0+ w=0 - w<0 w= Plano s Re(s) Im(s) -1 jw s C1 f2,3,4.5 f1 0 - 0+ K=1 w<0 w=0+ w=0 - w>0 w=- Plano s Re(s) Im(s) w=0 w= KG=K/s (s+1) KG=K/s2(s+1) w= K Re(s) Im(s) -1 Plano s w>0 w=0 w= K w>0 Re(s) -1 Plano s Im(s) w= K Re(s) Im(s) -1 Plano s w>0 w=0 w= K w>0 Re(s) -1 Plano s Im(s) w=0 KG=K/s4(s+1) KG=K/s3(s+1)

Curva de Nyquist vs. Diagrama de Bode Plano s Re(KG) Im(KG)) KG=K/s2(s+1) Magnitud de KG(jw): /KG(jw)/=/KG(-jw)/ log10w w<0 w>0 -40db/dec -60db/dec -1 1 w>0 0 db w=0+ w= -1 w=0- w=- Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): q log10w 180° 270° -270° -180° 0° w<0 w>0 w<0  N=2 Como P=0 Z=2 1 vuelta Inestable para cualquier K !

Curva de Nyquist vs. Diagrama de Bode Plano s Re(s) Im(s) -1 KG=K/s3(s+1) w=0+ w= w>0 /KG(jw)/=/KG(-jw)/ Magnitud de KG(jw): log10w w<0 w>0 -60db/dec -80db/dec -1 1 0 db w=- w=0- w<0 Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): 1.5 vueltas q log10w 270° -270° -360° 0° w<0 w>0 360°  N=2 Como P=0 Z=2 Inestable para cualquier K !

Construcción de la C2 en el mapeo de =0- a =0+ En el ejemplo de: KG=K/s3(s+1) , ¿cómo se sabe el sentido de recorrido del tramo mapeado en C2 (ver arco verde) sobre el cero de C1 ? Plano s Re(s) Im(s) -1 w=0+ Plano s Re(s) Im(s) -1 w=0+ a) ¿Es así?: o b) ¿es así?: w=0 w=0 w=0- w=0- Otra solución restringida: Si restringimos la clase de sistemas DG(s) a aquellos denominados “bien comportados (well-behaved)”, es decir aquellos que no poseen polos ni ceros inestables, el empleo del Diagrama de Bode de la fase ayuda a determinar el número de vueltas y el sentido. Solución: Se bosqueja rápidamente la configuración de polos y ceros de G(s) y se analiza con ellos el ángulo a desde el pequeño arco en C1 para w0 C1 s jw … 270° w=0- Una propiedad importante de la fase de DG(j) es su simetría respecto al origen, es decir (j)=-(-j). Esta propiedad es importante en el mapeo DG(j) alrededor de =0 w=0+ a = - (f1 + f2 + f3 + f4 ) 0° w=0 f2,3,4 f1 -270º=90° w=0+ En este caso se lee y calcula: [(j0-)-(j0+)]/180º que es el número de vueltas de arco de circunferencia con radio infinito. Empezando desde DG(w=0-), pasando por DG(0) hasta DG(w=0+) en sentido horario. w=0 Por lo tanto, el arco de C2 pasa primero por 270° y da 1,5 vueltas alrededor del origen en forma horaria w=0-

Curva de Nyquist vs. Diagrama de Bode Plano s Re(s) Im(s) w=0- w<0 w=0+ w=- w>0 -1 w= w=0 KG=K/s4(s+1) /KG(jw)/=/KG(-jw)/ Magnitud de KG(jw): log10w w<0 w>0 -80db/dec -100db/dec -1 1 Interior de C2 es todo el plano s pues KDG es de Tipo>1 0 db Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): 2 vueltas q log10w 360° -360° -450° 0° w<0 w>0 450° Otra manera de saber el número de vueltas con radio infinito es:  N=2 Como P=0 Z=2 C1 s jw … f2,3,4,5 w=0- w=0+ w=0 =-f1-f2,3,4,5= -4x(90º)=-360º =-f1-f2,3,4,5=0º =-f1-f2,3,4,5=4x90º=360º Inestable para cualquier K !

Curva de Nyquist para polos complejos KDG=Kwn2/(s2+2zwns+wn2) Plano s Re(s) Im(s) /KG(jw)/=/KG(-jw)/ Magnitud de KG(jw): log10w w<0 w>0 -40db/dec 0 db w<0 Disminuye  w=- -1 w=0 - w= w=0+ w=wn2 C1 s jw f2 f1 w=0- w=0+ w=0 Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): q log10w 180° w<0 w/>0 -180° 0° 2>1 w=wn1 1 w>0 =0o tanto para w=0+, w=0 y w=0+  N=0 Como P=0 Z=0 Estable para cualquier wn, z y K !

Curva de Nyquist para Sistemas de Tipo 0 KG=K/(s+1)2 Plano s Re(s) Im(s) Magnitud de KG (jw): /KG(jw)/=/KG(-jw)/ w<0 w=0- w=0 w=0+ w=- w>0 w= log10w -40db/dec w<0 w>0 -1 1 0 db K -1 Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): q log10w 180° -180° 0° w<0 w>0  N=0 Como P=0 Z=0 Estable para cualquier K !

Curva de Nyquist para Sistemas Inestables KG=K(s+1)/s((s/10)-1) Plano s Re(s) Im(s) P=1 w=0+ w=0 - w>0 w<0 w=- w=0 w= Im(s) Plano s Re(s) C2 C1 w=0+ -1/K1 -1/K2 y  0° f2  - 180° a = y - f1 - f2  180° f1  0° -1/K* w=0 w=0 - NOTA IMPORTANTE: El Diagrama de Bode NO es apto para determinar la estabilidad en esta clase de sistemas ! Estabilidad marginal  N=1 Como P=1 Z=2  N=-1 Como P=1 Z=0 K1 < K* SC inestable K2 > K* SC estable

Ejercicio 1 de Estabilidad con DN Sea la FTLA del mismo sistema tipo I: KG=K(s+1)/s((s/10)-1) Plano s Re(s) Im(s) w=0+ w=0 - w>0 w<0 w=- w=0 w= C2 1) Trazar la Curva de Nyquist a mano alzada. Además se sabe por Bode que con K=1  |KDG|=1 y =-180º 2) Emplear el método “-1/K” para mostrar al sistema marginalmente estable. ¿Cuánto vale ese K* ? Rta: K*=1 3) Con la CN decir si el sistema es estable con K=0.8? ? Si es inestable, ¿cuántos polos inestables tiene el SCLC? -1/K=-1.25 -1/K=-0.5 Rta: K=0.8 -> -1/K=-1.25 Por lo tanto el sistema es inestable y tiene 2 polos inestables: Z=N+P=1+1 -1/K=-1 4) Con la CN decir si el sistema es estable con K=2? Si es inestable, ¿cuántos polos inestables tiene el SCLC? Rta: K=2 -> -1/K=-0.5 Por lo tanto el sistema es estable

Verificación con Lugar de la Raíz FCR Mario Jordán Verificación con Lugar de la Raíz KG=K(s+1)/s((s/10)-1) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -3 -1 1 3 Plano s K*=1 K<K*=1 K<K*<1 estable inestable K>K*

Ejercicio 2 de Estabilidad con DN ¿Cómo se calcula la K=K* para que un sistema KDG(s) sea marginalmente estable? (s+5)2(s+25) KDG(s)= K (s+2)3 s2(s+1) 1 Sea: Entonces K=K*=33.5 -200 -100 100 200 10 -3 -2 -1 1 2 3 -270 -225 -180 -135 30,5 dB = 1030,5/20 = 33,5 Magnitud, dB Fase, o

Curva de Nyquist para Sistemas de Fase No-Mínima KG=K(s-1)/s((s+1) w>0 C2 w= w=- Plano s Re(s) Im(s) w=0+ w=0 - Im(s) Plano s Re(s) C1 a = y - f1 - f2  180° y  180° f1  0° f2  0° w=0+ -1/K1 -1 -1/K2 -1/K3 w=0 w=0 - w<0 Concluimos por el mapeo de =0- a =0+ que  va de 270º a 90º pasando por 180º NOTA IMPORTANTE: El Diagrama de Bode NO es apto para determinar la estabilidad en este tipo de sistemas !  N=1 Como P=0 Z=1 para todo K Y si K=K3 es negativo? Verificar con Lugar de la Raíz ! La curva de Nyquist encierra 2 veces al punto -1/K3

Sistema de Retardo Puro FCR Mario Jordán KG=Ke-sTd Ganancia: /G(jw)/= 1 = 0 db Fase: q = -wTd 10 -2 -1 1 2 3 -40 -20 20 40 60 -0 -360 -270 -180 -90 Magnitud (dB) Fase(grados) Frequenia (rad/sec) Plano s Re(s) Im(s) K=2 K=1=K* K=0.5 -1/0.5 -1 -1/2 -wTd  N= Como P=0 Z=  N=0 Como P=0 Z=0

Sistemas que incluyen Retardo Puro KG=Ke-sTd/(s+1) Ganancia: /G(jw)/ = 1/sqrt(2+1) Fase: q = -wTd - atan() -20 10 -2 -1 1 2 3 -60 -40 20 40 -0 -360 -270 -180 -90 Magnitud (dB) Fase(grados) Frequenia (rad/sec) K2 Plano s Re(s) Im(s) K1 K=1 -20 db/dec K3 -1/K3 -1/K4 -1 -1/K1 -1/K2 -wTd- atan(w) Td Aumentando Td el punto -1/K4 (o el -1/K2) se encircula mas veces! El punto -1/K4 cae 4 espiras más adentro, por lo tanto N=4 Con K1N=0 Marginalmente estable  Con K=1N=0 Como P=0 Z=0 Con K2N=2 Como P=0 Z=2  Con K3N=0 Como P=0 Z=0

Sistema integrador con Retardo Puro FCR Mario Jordán Sistema integrador con Retardo Puro Cálculo de los puntos de cruce de G(jw) con el eje real negativo G(jw)= e -Td s s Sea por ejemplo: (– sen Tdw – j cos Tdw) G(jw)= e -jTdw w = 1 En la frecuencia: Cuando la parte imaginaria se hace 0, existe un cruce. La condición es: w0 = 2Td (2n+1)p para n=0,1,2,… = 0 w cos Tdw G(jw0)= (-1)(1+n) 2Td (2n+1)p para n=0,1,2,… G()=0 En el límite: p -2Td G(jp/2)= 1er. corte ocurre en semieje real negativo: -2Td 3p G(j3p/2)= 3er. corte ocurre en semieje real negativo: 5p G(j3p/2)= -2Td 5to. corte ocurre en semieje real negativo:

Retardo puro en sistemas de control de tipo 1 s(s+1) Gd(jw)= e -Td s s(s+1) G(jw)= 1 Sin Retardo puro: Con retardo puro: Repetimos G(j) w=0+ w= -1 Plano s Re(s) Im(s) j w=0+ w= -1 Plano s Re(s) Im(s) j w1 |G(jw1)|=|Gd(jw1)| q (w1) |G(jw1)|=|Gd(jw1)| w1 q (w1)+(-Tdw1)

Márgenes de Estabilidad FCR Mario Jordán Márgenes de Estabilidad

Definiciones sobre un Sistema de tipo 1 FCR Mario Jordán Definiciones sobre un Sistema de tipo 1 Plano s Re(s) Im(s) -1 MG: Margen de Ganancia j MF: Margen de Fase El MG y el MF son números reales positivos. Por lo tanto se definen normalmente para sistemas estables K>K* w=0+ w= MG K<K* Adicionalmente, MG es menor a uno MF K*

Otra Definición para sistemas de tipo 1 y 2 FCR Mario Jordán Otra Definición para sistemas de tipo 1 y 2 Plano s Re(s) Im(s) VM -1 VM: Margen vectorial w=0+ w= w>0 w=0+ VM Mínima distancia entre el punto -1 y una curva de Nyquist que pase a la derecha del punto -1 Es decir, la definición es válida para sistemas de control estables.

Sistemas Condicionalmente Estables FCR Mario Jordán Sistemas Condicionalmente Estables MG: Margen de Ganancia MF: Margen de Fase Plano s Re(s) Im(s) (s+5)2(s+25) KDG(s)= K (s+2)3 s2(s+1) 1 Sea: Se sabe por DB que para K=33.5 el sistema es marginalmente estable (y es la 1ra K*) w=0+ w= w>0 MF MG -1 Estos Sistemas de Control con dos K* se llaman CONDICIONALMENTE ESTABLES Se entiende que: Con el mismo procedimiento de DB se encuentra la 2da K*  MARG. ESTABLE Si se disminuye K a un valor menor que el 1er K*  MF negativa  INESTABLE Si se aumenta K a un valor mayor que el 2do K*  MF negativa  INESTABLE Si K se encuentra entre las los 2 valores de K*  MF positiva ESTABLE Con K al valor de K*=33.5  MF cero MARG. ESTABLE

Otro ejemplo de SCE Z=0 Z=2 N=1-1=0, Z=0 P=0 Diagrama de Bode -1 10 -3 -2 -1 1 2 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 60 80 K=20 db Otro ejemplo de SCE K=0 db KDG(s)= K(s2+10s+100) s4+0.9 s3+0.25 s2+0.027 s + 0.001 K=-50 db -144° -276,6° -166° Re(s) -1 Im(s) K=0db K=20db Diagrama de Nyquist -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 -6 -4 -2 2 4 6 x K1*=0.006 K=-50db K2*=5.5 Lugar de la raíz Z=0 Z=2 N=1-1=0, Z=0 estable P=0 estable inestable

Lecturas de los Márgenes de Ganancia y Fase en Diagrama de Bode KDG(s)= 0.7 (s2+10s+100) s4+0.9 s3+0.25 s2+0.027 s + 0.001 10 -3 -2 -1 1 2 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 60 80 Se busca la frecuencia para una fase de -180º y se lee la ganancia y se determina el MG Se ve que existe otra frecuencia para una fase de -180º. Se determina que este MG es mayor que en el primer caso. Se busca la frecuencia del corte para 0db y se lee la fase. Si ésta por arriba de -180º, el Sistema de Control es estable Se toma el menor MG de ambos ya que un aumento de ganancia superior a la primera, causa inestabilidad Se determina el punto de corte de la Ganancia a 0db Se trazan rectas de ganancia de 0db y de fase -180º wc=0.18 MG=15 db K=-3 db=0.7 MG=75 db MF=85° Magnitud de KDG(j) Fase de KDG(j)

Márgenes de Estabilidad para un SD de 2do. orden w= Re(s) Im(s) -1 Plano s w>0 w=0+ MF Sea la planta de tipo 1: la cual, realimentada con K=1 obedece a: Haciendo: |T(j)|=1 =c PM=180 +  (c) de donde se obtiene la expresión: MF  MF MF Aproximadamente:

Sobrepico rta al escalón Mp FCR Mario Jordán Diseño de un SC con Márgenes de Estabilidad para Sistemas oscilantes de 2do. orden Se desea un MF determinado. Con ello se calcula un z: MF Sobrepico rta al escalón Mp Pico de resonancia Mr MF Se procede al empleo de Relaciones establecidas para sistemas de 2do orden que ligan Mp (o Mr) con  Recordar que: Mr=1/2z Mr=50/MF

Diseño de un Sistema de Control con Especificaciones en Frecuencia Método de Diseño I Especificación del Ancho de Banda del Sistema de Control

Método de Diseño I (Ancho de Banda) Especificaciones: Se diseña una compensación dinámica para obtener un Ancho de Banda deseado del sistema de control Solución: A través de un compensación dinámica de ceros, se debe lograr que el Sistema de Control tenga un grado relativo 1

Método de Diseño I (Ancho de Banda) Justificación: Si KDG=a/b tiene grado relativo 1, luego KDG/1+KDGA= a/(b+a) tiene también un grado relativo 1 Si miramos un sistema de primer orden (grado relativo 1), su Ganancia en Bode cae -3dB en la frecuencia de cruce y su Ancho de Banda es por definición justamente su frecuencia de corte KDG cae con grado relativo 1 como en un sistema de primer orden, por lo tanto, su ancho de banda es muy parecido a -3dB en su última frecuencia de corte Si |KDG()| es aproximadamente igual a |KDG()| /|1+KDG() en ’s a partir del ancho de banda, entonces la última frecuencia de corte del SCLC es igual a la última frecuencia de corte del SCLA y por ende ambas son iguales a frecuencia de corte del sistema de primer orden Conclusión: construyendo a KDG con grado relativo 1 y el ancho de banda especificado, luego KDG/(1+KDGA) también lo tendrá.

Ejemplo 1 del Método de Diseño I Especificaciones y procedimiento: Se especifica BW para el sistema de control final Supongamos que la planta tiene una configuración de ceros y polos como los de la siguiente figura Plano s j  x Compensador PD Planta s=-BW Para compensar su grado relativo de dos, se introduce un cero en la posición s=-BW, así el sistema KDG adquiere grado relativo 1 Se modifica la ganancia K para lograr que KDG(BW) tenga el mismo ancho de banda que el especificado para el SCLC

Ejemplo 1 del Método de Diseño I FCR Mario Jordán Ejemplo 1 del Método de Diseño I Se elige el cero del compensador justo en la frecuencia del ancho de banda 10 -2 -1 1 2 3 -135 -90 -45 Frecuencia (rad/sec) -60 -40 -20 20 40 60 80 Con ello KDG/(1+KDG) tendrá aproximadamente el mismo ancho de banda BW Planta sin compensar K se aumenta Error aprox.3db pues n=-1 n=-1 n=-2 n=0 n=-2 n=0 Amplitud Fase Planta compensada KDG 32dB=K=40 KDG/(1+KDG) 0db Se agrega el cero Ancho de banda BW Finalmente el diseño queda: KD(s)=40(s/BW+1) KDG/(1+KDG) KDG BW

Ejemplo 2 del Método de Diseño I Planta: Contémplese un satélite en su modo de giro: G(s)= 1 s2 Especificaciones: Diseñar una compensación dinámica para obtener: 1) un ancho de banda no menor a 0.2 rad/s y 2) un buen amortiguamiento. Solución: Nuevamente agregamos un cero con un compensador del tipo PD con su cero en -BW Para conocer el efecto entre el ancho de banda y el  , estudiamos el problema a través del Lugar de las Raíces, Diagrama de Nyquist y Diagrama d Bode

Estudio Preliminar del sistema con Lugar de las Raíz FCR Mario Jordán Estudio Preliminar del sistema con Lugar de las Raíz Gla=L(s)= s2 s Td + 1 La FTLA es: Para un Td cualquiera positivo (por ejemplo:Td=0.5 s), se tiene un LR en donde se presentan distintos K’s en orden ascendente -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.7 -0.6 -0.5 Parte real Parte Imaginaria wn=cte wd=wn 1-z2 Si K wn wBW  y

Estudio preliminar del sistema con Diagrama de Nyquist Plano s Re(KG) Im(KG)) w=0+ w=0- w= w>0 w<0 -1 MF=45º DG=(s/BW+1)/s2 Tramo II  N=0 Como P=0 Z=0 Tramo I SCLC estable para cualquier K ! Sin embargo, si K disminuye, las curvas de los tramos I y II se acercan al punto -1

Estudio Preliminar del sistema con Diagramas de Bode FCR Mario Jordán Estudio Preliminar del sistema con Diagramas de Bode Glc= K s2 Td s + 1 1 + K -180 -90 -45 -80 -60 -40 -20 20 Magnitud (dB) 10 -3 -2 -1 1 2 Fase (grados) Frecuencia (rad/sec) Diagrama de Bode de Glc -135 K=0.01 -3 db 0 db K=0.1 K=1.0 wBW wBW wBW Frecuencia de cruce del SCLC Ancho de banda del SCLC Los anchos de banda del SCLC aumentan con K

Solución del Ejemplo 2 con el Método de Diseño 1 FCR Mario Jordán 10 -1 -180 -135 -90 -45 -15 -10 -5 5 15 Amplitud Fase Frecuencia rad/s 20 25 9.45 s2 Gla= s/0.15+1 n=-2 Gla= s2 s/0.15+1 Planta compensada n=-2 n=-1 Salto de -19.5 db=-9.45 s2 1 G= Planta Glc n=-1 0 db -3 db n=-2 Ancho de banda real BW=0.217 Ancho de banda deseada BW=0.2 BW=0.2 (deseada) Elegimos 1/Td un poco menor que la BW pues sabemos que aparecerá un pico de Resonancia en la FTLC que aumenta el Ancho de Banda por sobre el deseado MF=35º =0.15

Respuesta temporal del Ejemplo 2 20 40 60 80 100 120 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tiempo (s) Glc= 0.016 1 + 0.016 s + 0.15 s2 y(t) 35% r(t) El sobrepico es alto y eso se debe a un margen de fase bajo. Para cumplir completamente la especificación que se pidió se debe aumentar el MF

Elección de un buen amortiguamiento en el Ejemplo 2 El ancho de banda solicitado en 1) se cumplió, es decir wBW 0.2 rad/seg Pero el amortiguamiento es bajo como se notó en el sobrepico. Notar que Mp=35% para un MF-35º Hay que aumentar el MF a través de una nueva modificación de la ganancia K Notamos de la figura Mp vs. MF, que si aumentamos MF, a 45°, eso nos da un Mp  22% y un =MF/100=45/100=0.45 Usualmente las especificaciones de MF imponen valores menores que 50°, pero acá se pidió sólo ancho de banda y un amorti- guamiento aceptable, lo cual se cumplió. MF Sobrepico rta al escalón Mp Recordar que estas gráficas son aproximadas pues corresponden a un sistema con dos polos complejos conjugados y sin ceros como en este caso. 35º 0.35 45º 0.22

Elección de un Mp adecuado para el Ejemplo 2 =0.15 Ancho de banda deseada BW=0.2 10 -1 -180 -135 -90 -45 -15 -10 -5 5 15 Amplitud Fase Frecuencia rad/s 20 25 Ancho de banda real BW=0.217 s/0.15+1 9.45 s2 Gla= -3 db 0 db n=-2 MF=35º Glc n=-1 Ancho de banda real aumenta levemente MF Sobrepico rta al escalón Mp MF=45º 1.6(s/0.15+1 ) 9.45 s2 Gla= K=4 DB=1.6 45º 0.22

Respuesta temporal del diseño I en el Dominio Frecuencial 20 40 60 80 100 120 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tiempo (s) 35% y(t) r(t) Glc= 0.016 1 + 0.016 s + 0.15 s2 1 1 + 0.025 s + 0.15 s2 Glc1= 0.025 22%

Simplificaciones generales para el Diseño I -20 -15 -10 -5 5 10 15 -1 1 -135 -90 -45 45  = 0.1, 0.3, 0.5, 0.7,0.9 0dB 3dB Sistema de 1er orden c 2c wc 1er orden  wBW 2wc =0.1 c Regla de diseño: Si  se exige chico (Mp>50%), el cero se elige cercano a c=1.5BW Si  se exige grande (Mp<20%), el cero se elige cercano a c=BW