Diseño de Sistemas de Control

Diseño de Sistemas de Control
EPN-DACI revision marzo 2009 Diseño de Sistemas de Control Introducción Todos los fundamentos que se han revisado para el análisis en los capítulos anteriores llevan al objetivo último del diseño de sistemas de control. Especificaciones de diseño: Generalmente se emplean para describir qué debe hacer el sistema y cómo hacerlo. Estas especificaciones suelen incluir parámetros como: estabilidad relativa, precisión en estado estable, respuesta transitoria y características de respuesta de frecuencia. El diseño de sistemas de control lineales se puede realizar ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN Sistemas de Control Automático

EPN-DACI revision marzo 2009 Diseño de Sistemas de Control Configuraciones del controlador El diseñador decide la configuración básica del sistema diseñado completo y el lugar donde el controlador estará colocado en relación con el proceso controlado. Compensación en serie (cascada): es la más comúnmente utilizada con el controlador colocado en serie con el proceso controlado. Compensación en realimentación (en paralelo): el controlador está colocado en la trayectoria menor de realimentación. marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN Sistemas de Control Automático

Principios fundamentales del diseño Después que se ha escogido una configuración del controlador, el diseñador debe seleccionar un tipo de controlador que satisfaga las especificaciones de diseño. Uno de los controladores más utilizados en el PID, el cual aplica una señal al proceso que es una combinación proporcional, integral y derivada de la señal de actuación. Además de estos se cuentan con controladores o redes de adelanto, atraso y atraso-adelanto. Una vez elegido el controlador, la siguiente tarea es determinar sus parámetros. Estos son coeficientes de una o más funciones de transferencia que conforman el controlador. A continuación se debe realizar la verificación del desempeño del sistema y en caso de ser necesario reajustar los parámetros del compensador. Se emplea la simulación mediante un paquete computacional para evitar gran parte de la complicación numérica necesaria en esta verificación marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 3

Diseño empleando el Lugar Geométrico de las Raíces En esencia, en este tipo de diseño el LGR del sistema se reconstruye mediante el uso de un compensador, a fin de poder colocar un par de polos dominantes en lazo cerrado en la posición deseada. Redes de adelanto Mejora la respuesta transitoria readaptando el LGR. El cero del compensador de adelanto readapta el LGR, mientras que el polo se ubica lo suficientemente lejos a la izquierda para no influir en la parte readaptada por el cero. marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 4

Procedimiento de diseño de redes de adelanto mediante el LGR De las especificaciones de funcionamiento, se determina la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado. Trazar el LGR para el sistema no compensado cuya función de transferencia es G(s). Determine si con solo ajustar la ganancia se logra obtener o no los polos de lazo cerrado deseados. De no ser posible, calcule la deficiencia angular Φ, este ángulo se debe proporcionar por el compensador en adelanto para que el nuevo LGR pase por las ubicaciones deseadas. Se determinan α y T a partir de la deficiencia angular, Kc se determina a partir del requisito de ganancia de lazo abierto partiendo de la condición de magnitud. Verificar que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeño, de no ser el caso repetir el procedimiento ajustando el polo y el cero del compensador hasta cumplir con todas las especificaciones marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 5

Análisis del sistema Ejemplo de diseño marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 6

Para este sistema se desea tener un par de polos dominantes con Mp ≤ 20% y ts ≤ 2s (criterio del 2%). Por lo que el punto de diseño será: marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 7

Como se observa el LGR de la planta no pasa por el punto de diseño (PD). Entonces calculando el ángulo de adelanto A que debe entregar el compensador se tiene: marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 8

Comprobando el compensador diseñado se utiliza el rltool de MatLab y se presenta a continuación el LGR y la respuesta temporal del sistema compensado: marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 9

Como se observa en la simulación anterior, de las especificaciones de diseño no se cumple con la del Mp (debe ser ≤ 20%) por lo que es necesario reajustar los parámetros del compensador. Por esto se varia la ganancia a un valor de 7,3 logrando cumplir con las especificaciones solicitadas. marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 10

Redes de atraso Se emplea para mejorar la respuesta en estado estable sin modificar la respuesta transitoria. Se pretende no cambiar el LGR en la vecindad de los polos dominantes en lazo cerrado. Generalmente se ubican el polo y el cero próximos entre sí y cerca del origen marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 11

Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante el LGR Trace el LGR para el sistema no compensado y con base a las especificaciones de la respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el LGR. Calcule la constante de error estático especificada en el problema. Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las especificaciones. Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento necesario en la constante de error estático determinado sin alterar apreciablemente el LGR original. Trace el nuevo LGR del sistema compensado y ubique sobre este los polos en lazo cerrado en base a las especificaciones de la respuesta transitoria. Ajuste la ganancia del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada. marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 12

Ejemplo de diseño Análisis del sistema marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 13

Como se observa este sistema no presenta problemas con su respuesta transitoria pero al analizar su constante de velocidad se obtiene KV = 4, por lo que el error de velocidad es de eV = 25% marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 14

Por lo que se desea compensar su error de velocidad sin desmejorar su respuesta transitoria. Se pretende obtener un eV ≤ 5%, es decir se requiere un KV ≥ 20. marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 15

Para comprobar el compensador diseñado se utiliza el rltool de MatLab, por lo que a continuación se presentan el LGR, la respuesta paso unitaria y la respuesta rampa unitaria del sistema compensado zoom marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 16

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Diseño empleando la respuesta de frecuencia Se especifica el desempeño de la respuesta transitoria en forma indirecta, a través del MF, MG y Mr. El diseño es sencillo y directo. Para propósitos de diseño es mejor trabajar con el Diagrama de Bode. Redes de adelanto Su función principal es volver a dar forma a la curva de respuesta de frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto de fase suficiente para compensan atrasos de fase del sistema. Es básicamente un filtro pasa-altos. marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 18

Redes de adelanto Diagrama de Nyquist (haciendo KC=1) Diagrama de Bode (haciendo KC=1 y =0.1) marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 19

Procedimiento de diseño de redes de adelanto mediante la respuesta de frecuencia Suponga el siguiente compensador de adelanto: Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático solicitado. Con esta ganancia K , trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF. Determine el ángulo de fase  necesario a agregar al sistema y calcule  a partir de la ecuación de m. Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual a Esta será la nueva frec. de cruce de ganancia y corresponde a Determine las frecuencias de esquina del compensador (1/T y 1/(T)) y calcule el valor de KC. Verifique el MG para asegurar que sea satisfactorio. marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 20

Ejemplo de diseño Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥ 50º y MG ≥ 10dB. Escogiendo una red de adelanto se tiene: Y haciendo que , se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación del valor de KV, obteniendo: A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de: A partir de este diagrama se determina que el MF = 12,8º y el MG = . Como se requiere de un MF de al menos 50º sin alterar el valor de K, la red de adelanto debe contribuir con el ángulo de fase adicional de 42,2º (se han agregado 5º para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia). marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 21

Entonces de la fórmula de m se tiene: Por lo que: y como se observa en el diagrama de magnitud esta ganancia ocurre aproximadamente a la frecuencia de 6,68 rad/s marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 22

Esta es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Entonces de la fórmula de m se obtiene: Y calculando el valor de KC Finalmente el compensador diseñado es marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 23

Redes de atraso Su función principal es proporcionar una atenuación en el rango de las frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema. Es esencialmente un filtro pasa-bajos. Diagrama de Nyquist Diagrama de Bode (para =10 y KC=1) marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 24

Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante la respuesta de frecuencia Suponga el siguiente compensador de atraso: Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático solicitado. Con esta ganancia K , trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF. Si el sistema no compensado no satisface la especificación de MF, encuentre el punto de frecuencia en el cual el ángulo de fase del sistema en lazo abierto sea igual a -180º más el MF requerido (generalmente se aumentan de 5º a 12º). Esta es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase, el polo y el cero del compensador deben ubicarse mucho más abajo que la nueva frec. de cruce de ganancia (hasta una década por debajo). Determine la atenuación necesaria para bajar la curva de magnitud a 0dB en la nueva frec. de cruce de ganancia. Esta atenuación es de Usando el valor de K y de  se determina el valor de KC. marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 25

Ejemplo de diseño Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥ 50º y MG ≥ 10dB. Escogiendo una red de atraso se tiene: Y haciendo que , se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación del valor de KV, obteniendo: A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de: A partir de este diagrama se determina que el MF = 12,8º y el MG = . Como se requiere de un MF de al menos 50º sin alterar el valor de K. Por esto se determina la frecuencia en la cual el ángulo de fase sea de -120º para obtener un MF de 60º. Del gráfico de fase se observa que esta frecuencia es de 0,571 rad/s. marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 26

Por lo que 0,571 rad/s será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. A esta frecuencia se tiene una magnitud de 29,6dB, entonces el compensador de atraso deberá cumplir que: marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 27

Como la frecuencia de esquina 1/T debe estar entre una década y una octava por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia se tiene que: Y calculando el valor de KC Finalmente el compensador diseñado es marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 28

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