RESPUESTA TEMPORAL Analizaremos en este capítulo:

Presentación del tema: "RESPUESTA TEMPORAL Analizaremos en este capítulo:"— Transcripción de la presentación:

1 RESPUESTA TEMPORAL Analizaremos en este capítulo: - Rapidez. Tiempo en alcanzar el régimen permanente. - Amortiguamiento. Más o menos oscilaciones antes del régimen permanente. - Sistemas de 1º y 2º orden.

2 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Función de Transferencia: F(s)= Y(s)/U(s) = 1/(1+s) = = (1/)/ (s+(1/)) = a/(s+a) Restricciones: - polo: s = -a = -1/ positiva (sistema estable) - ceros: no hay - ganancia estática: F(0)=1 (no hay error seguimiento en r.p.)

3 Y(s) = (1/s).a/(s+a) = 1/s - 1/(s+a) y(t) = 1 - e
RESPUESTA A UN ESCALON -t/  Y(s) = (1/s).a/(s+a) = 1/s - 1/(s+a) y(t) = 1 - e u r.p.: y( )=1 E ( ) = 0 o o o o s 1 y 95% 99.3% 63.2% Tiempo de establecimiento al 5%: -t /  s  3 5 t 0.95 = 1 - e t = .Ln0.05 = 3  s -t/  F(s) = K.a/(s+a) y(t) = K.( 1 - e ) r.p.: y( )=K E ( ) = 1-K o o o o K s y 95% 99.3% 63.2%  3 5 t

4 RESPUESTA A UNA RAMPA LINEAL
2 2 Y(s) = (1/s ).a/(s+a) = 1/s - (1/a)/s + (1/a)/(s+a) -t/  y(t) = t -  +  e -t/  2 u(t) = vt.u (t) U(s) = (v/s ) y(t) = vt - v + v e u=vt v  y t

5 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
2  n : Amortiguamiento F(s) = 2 2 s + 2s +  n n : Pulsación propia no amortiguada n Restricciones: - ,son coeficientes positivos (sistema estable) - ceros: no hay - ganancia estática: F(0)=1 (no hay error seguimiento en r.p.) n

6 SITUACION DE POLOS Y RESPUESTA TEMPORAL
2 Polos: s = -  - 1 _ + n n Si > 1 : polos reales y negativos Si 0< < 1 : polos complejos conjugados con parte real negativa =0.5 =0 y =0 x x a =0.5 b  = arcsen  =2 =1 n y( )=1 o o 1 x x x =2 =1 =2 x x =0.5 =0 t

7 SISTEMA SOBREAMORTIGUADO
(> 1) 2 Polos: s = -  - 1 = -a + b = -a (lento) + n n 1 2 a .a =  1 2 n 2 s = -  - 1 = -a - b = -a (rápido) - n n 2 2 2   1 n 1 n Y(s) = = = s 2 2 s s + 2s +  (s + a) (s + a) n n 1 2 -a /(a - a ) a /(a - a ) 1 2 2 1 1 2 1 = s (s + a) (s + a) 1 2 a a -a t -a t 2 1 y(t) = e e 1 2 (a - a ) (a - a ) 2 1 2 1

8 SISTEMA DE AMORTIGUAMIENTO CRITICO
(= 1) Polos: s = -= -a n 2 2  a 1 n 1 Y(s) = = = s 2 s 2 (s + ) (s + a) n 1 -a -1 = s 2 (s + a) (s + a) -a t -a t y(t) = 1 - a.t.e e

9 TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO AL 5%
-a t si a << a (>> 1) y(t) = 1 - e 1 1 2 -a t 0.95 = 1 - e 1 s t = 3/a s 1 -a t -a t = 1 y(t) = 1 - a.t.e e -a t -a t s s 0.95 = 1 - a.t .e e t = 4.74/a s s

10 SISTEMA SUBAMORTIGUADO
(0<< 1) 2 2 Polos: s = -  - 1 = -a + b.j + a =   b=- 1 n n n n 2 s = -  - 1 = -a - b.j - n n Respuesta a un escalón: 2  1 n Y(s) = = s (s + a- b.j) (s + a + b.j) * 1 R R = s (s + a - b.j) (s + a + b.j) 2 2   n n 1 -j(+) R = = = e  (- a + b.j).2bj j.(+) 2cos  .e bj n 2 1 -a.t y(t) = e .cos(b.t - ) cos 

11 TIEMPO DE PICO Y SOBREPASO
t = /b p 3 M -tg M p Sobrepaso M = e 1.05 p p 1 1º pico t , Sobrepaso M 0.95 2 p p M p 2 2º pico 2. t , Sobrepaso -M t p s p t t 2t 3t t 3 a p p p 3º pico 3. t , Sobrepaso M p p Ejemplo:  = 0.4 1º pico t , y = = 1.254 p 2 2º pico 2. t , y = = p 3 3º pico 3. t , y = = 1.016 p

12 RAPIDEZ Pulsación propia no amortiguada  n Pulsación propia  = b =  .cos  d n Tiempo de alcance t = ((/2) + )/( .cos ) a n Tiempo de pico t = /b p Tiempo de establecimiento al 5% t (y(t ) = 0.95) s s - no expresiones analíticas - hay discontinuidades

13   / (rad)% t  t  t d n p n a n p n s
PARAMETROS DE RESPUESTA A UN ESCALON DE UN SISTEMA DE 2º ORDEN SUBAMORTIGUADO   / (rad)% t  t  t d n p n a n p n s

14 ESPECIFICACION DE RESPUESTA TEMPORAL
DE SISTEMAS EN GENERAL - Buscar los polos dominantes de 2º orden (resto de polos tienen módulo suficientemente grande o bien polos y ceros compensan sus efectos) - Diseños típicos: = 0.5 a 0.7 M = 15% a 5% p  = 30º a 45º

15 = arcsen  Polo lejano con efecto despreciable x Polos dominantes  Sistema ~ 2º orden x x Polo y cero compensan sus efectos Polos dominantes x Sistema ~ 2º orden x o x

16 EFECTO DE CEROS Y POLOS ADICIONALES
2  1 s-z n Cero adicional Y(s) = s 2 2 -z s + 2s +  n n -a.t j 1 -a+bj-z -j(+) y(t) = 1 + A .e .cos(b.t + ) A.e = e -z cos  Si z >>  el efecto del cero no es importante n 2  1 -p n Polo adicional Y(s) = s 2 2 s - p s + 2s +  n n 2 - -a.t -p.t n y(t) = 1 + A .e .cos(b.t + ) + R.e R = 2 2 p - 2p +  n n j 1 -p -j(+) A.e = e Si p >>  el efecto del polo no es importante n cos  -a+bj-p

17 Los ceros incrementan el sobrepaso y los polos lo disminuyen
Los ceros adelantan el tiempo de pico y los polos los retrasan Regla general: Puede despreciarse el efecto de un cero o polo adicional si: - Su módulo es 5 veces mayor que el de los polos de 2º orden ( ) - Su constante de tiempo es 10 veces menor que la de los polos de 2º orden (1/a).  n