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CONTROL CLÁSICO Y MODERNO
Profesor: Dr. Ing. Fernando Botterón Ingeniería Electrónica Facultad de Ingeniería - U.Na.M
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Tema II Análisis de la respuesta transitoria de un sistema dinámico:
Impulso, escalón y rampa para sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Especificaciones de la respuesta transitoria para entrada en escalón. Sistemas de orden superior: aproximación de polo-cero aproximación por polos dominantes Ejemplos de sistemas de primer y segundo orden. Análisis del error en estado estacionario: Errores de posición, de velocidad y de aceleración.
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Análisis de la Respuesta Transitoria Respuesta Transitoria
Respuesta Temporal: - Característica dinámica del sistema Respuesta Transitoria - Afectada por los estados iniciales Respuesta Permanente - Depende de la señal de entrada - y si el sistema es estable - Es igual o proporcional a la señal de entrada cuando t →∞ luego que la Rta. Transitoria cae a 0.
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Error en Régimen Permanente: En sistemas de control se desea minimizar este error Para esto se caracteriza la respuesta transitoria respecto a entradas típicas o estándares. - Función Impulso - Función Escalón Entradas Típicas Más Utilizadas - Función Rampa - Función Parabólica
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Primer Orden: R(s) Y(s) T : Constante de Tiempo Respuesta al Escalón: En el dominio del tiempo: Polo de la FT debe estar semiplano izquierdo del plano s
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Análisis de la Respuesta Transitoria
A efectos prácticos la salida alcanza el valor final:
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Primer Orden: R(s) Y(s) T : Constante de Tiempo Respuesta a la rampa: En el dominio del tiempo: Polo de la FT debe estar semiplano izquierdo del plano s
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Análisis de la Respuesta Transitoria
A efectos prácticos la salida alcanza el valor final: Posee error de régimen permanente
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Segundo Orden: R(s) Y(s) Dos polos en la FT Se definen: Los polos:
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Segundo Orden:
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Segundo Orden: Respuesta al Escalón Unitario En el dominio del tiempo: La frecuencia de la oscilación transitoria es wd wd es inversamente proporcional a x
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Ecuaciones Importantes !!! A medida que q ↑ x ↓
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Segundo Orden: Respuesta al Escalón
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Segundo Orden: Especificaciones de la Respuesta Transitoria
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Segundo Orden: Especificaciones de la Respuesta Transitoria Subamortiguado: Sobreamortiguado:
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Segundo Orden: Especificaciones de la Respuesta Transitoria Solo en sistemas Subamortiguados
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Segundo Orden: Especificaciones de la Respuesta Transitoria
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Segundo Orden: Especificaciones de la Respuesta Transitoria
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Análisis de la Respuesta Transitoria
x ↓ Mp ↑ Este es un parámetro indicativo de la ESTABILIDAD ABSOLUTA del sistema.
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Análisis de la Respuesta Transitoria
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Segundo Orden: Especificaciones de la Respuesta Transitoria El tiempo ts para la banda de tolerancia de 2% o 5% se mide en términos de la constante de tiempo T Existen 2 criterios: s ↑ ts ↓
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Análisis de la Respuesta Transitoria
x ↑ tp ↑ Se observa que tp es directamente proporcional a x
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Análisis de la Respuesta Transitoria
x ↑ tr ↑ Se observa que tr es directamente proporcional a x 23
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Análisis de la Respuesta Transitoria
wn ↑ tr ↓ Para wn = ctte. Aproximación lineal de tr para sistemas sub y sobre amortiguados 24
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Análisis de la Respuesta Transitoria Sistemas de Orden Superior
La salida se puede reescribir:
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Análisis de la Respuesta Transitoria Sistemas de Orden Superior
Realizando la transformada inversa de Laplace: 26
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Análisis de la Respuesta Transitoria Sistemas de Orden Superior
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Análisis de la Respuesta Transitoria Sistemas de Orden Superior
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Análisis de la Respuesta Transitoria Sistemas de Orden Superior
La distancia horizontal al eje jw de los polos de lazo cerrado determina el tiempo de asentamiento ts. Esto es: parte real El “tipo” de la respuesta transitoria esta determinada por los polos de lazo cerrado y la “forma” de la respuesta transitoria esta determinada esencialmente por los ceros de lazo cerrado. Los polos de lazo cerrado aparecen en los términos transitorios (exponenciales y sinusoidales) e informan sobre las formas posibles de la respuesta. Los ceros de lazo cerrado modifican los residuos, y por lo tanto afectan las amplitudes y fases, pero no las exponenciales o frecuencias de oscilación. 29
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Análisis de la Respuesta Transitoria
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Análisis de la Respuesta Transitoria Sistemas de Orden Superior
Cancelación de POLO-CERO: Cuando polos y ceros reales se encuentran muy cercanos. También es válido para pares de polos complejos conjugados. Aproximación de POLOS DOMINANTES: Polos alejados del eje imaginario (reales o no) poseen constantes de tiempo menores (Sus efectos pueden ser despreciados). Los Polos Dominantes caracterizan plenamente la Respuesta Transitoria y permiten reducir el orden del sistema.
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Aproximación de POLOS DOMINANTES Sistema de Orden Superior Polos No Dominantes: constantes de tiempo pequeñas Polos Dominantes: constantes de tiempo importantes Sistema de Orden Reducido Polos Dominantes del sistema resultante 32
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Análisis de la Respuesta Transitoria
Aproximación de POLOS DOMINANTES 33
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Análisis de la Respuesta Transitoria: Motor CC
Sistemas de Segundo Orden: Servo Motor CC con control de posición La FT entre la salida y la referencia es:
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Análisis de la Respuesta Transitoria: Motor CC
Sistemas de Segundo Orden: ServoMotor CC con control de velocidad Mediante algebra de bloques:
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Análisis de la Respuesta Transitoria: Motor CC
Sistemas de Segundo Orden: ServoMotor CC con control de posición y velocidad wn no varia x Aumenta con la realimentación de la medida de la velocidad !!!
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Análisis de la Respuesta Transitoria: Motor CC
Determinación de los valores de Km y Kh Se desea que el sistema en lazo cerrado tenga: Siendo la ctte de tiempo del motor:
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Análisis de error en estado estacionario
Precisión o Exactitud en Sistemas de Control: Especificación mas Importante El sistema de control debe seguir la referencia en estado estacionario o de régimen permanente Por esta razón es importante obtener las expresiones de los errores estacionarios en función de la señal de entrada y de la FTLA Teorema del Valor Final:
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Análisis de error en estado estacionario
Se definen las “constantes de error”: Cuanto mayores estas, menores los errores respectivos. Constante de error de posición Kp: entrada en escalón Para sistemas de tipo 0 (sin polo al origen): Error estacionario de posición
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Análisis de error en estado estacionario
Para sistemas de tipo 0 (sin polo al origen): 41
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Análisis de error en estado estacionario
Constante de error de posición Kp: entrada en escalón Para sistemas de tipo 1 (un polo al origen): 42
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Análisis de error en estado estacionario
Para sistemas de tipo 1 o de orden mayor: sn con n > 1 43
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Análisis de error en estado estacionario
Constante de error de velocidad Kv: entrada en rampa Error estacionario de velocidad Para sistemas de tipo 0:
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Análisis de error en estado estacionario
Constante de error de velocidad Kv: entrada en rampa Sistemas Tipo 1, n = 1:
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Análisis de error en estado estacionario
Constante de error de velocidad Kv: entrada en rampa Sistemas de tipo 2 o de orden mayor 46
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Análisis de error en estado estacionario
Constante de error de aceleración KA: entrada parabólica Error estacionario de aceleración 47
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Análisis de error en estado estacionario
Constante de error de aceleración KA: entrada en parábola Sistemas Tipo 0: Sistemas Tipo 1: Sistemas Tipo 2: Sistemas Tipo 3 o de orden mayor:
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