CONTROL CLÁSICO Y MODERNO

CONTROL CLÁSICO Y MODERNO
Profesor: Fernando Botterón Facultad de Ingeniería U.Na.M

Tema IV Región deseada de polos de lazo cerrado.
Diagramas del Lugar de las Raíces. Análisis del lugar de raíces de sistemas de control. Proyecto de compensadores PD, PI, PID de adelanto y atraso de fase. Estabilidad de Sistemas LIT Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz Casos Especiales. Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de sistemas de control.

Región deseada de polos de lazo cerrado
El problema es proyectar el sistema en lazo cerrado para que se verifiquen las siguientes especificaciones:

1° Requerimiento es la estabilidad de Glc(s) El sistema tienen error de posición nulo Resta cumplir las restricciones de Sobrepaso, Tiempo de Asentamiento y Tiempo de Subida.

El proceso se resume a calcular los polos de lazo cerrado en función de K: Prueba y Error

Trasladar las especificaciones en el tiempo al dominio de Laplace: Parámetros de diseño

Para régimen estacionario: y(t) = yf = a Valor máximo de la respuesta: Dado que Mp = f(x)

Para un sobrepaso especificado: Conclusión: % de Mp en el dominio del tiempo, significa un valor de ángulo del polo dominante respecto al eje real negativo en el plano-s.

Especificación de tiempo de asentamiento de la respuesta: El tiempo de asentamiento es el menor tiempo para el cual se cumple:

Conclusión: Un ts(seg) dado en el dominio del tiempo, esto significa un valor de distancia horizontal del polo dominante respecto al eje imaginario en el plano-s.

Especificación de tiempo de subida de la respuesta: Para el polo más próximo al origen del plano-s:

Deben verificarse el sobrepaso, el tiempo de asentamiento y el tiempo de subida.

K = 2 verifica el menor tiempo de subida
Se verifica si se cumplen el sobrepaso, el tiempo de asentamiento y el tiempo de subida. K = 2 verifica el menor tiempo de subida por lo tanto se cumplen las 4 especificaciones 13

Respuesta de Glc(s) para los valores de K = 2, 1 y 0,75
14

Lugar Geométrico de las Raíces
(1) Gp(s) Función Racional “Estrictamente Propia”, y K una constante real Polos de Glc(s) son las raíces de: (2) o sea, la solución de la ecuación: (3) Donde: Función de Transferencia de LA

Las raíces solución de la ecuación como función de K, definen lo que se llama: Lugar de las Raíces del sistema de Control ES EL LUGAR DE LOS POLOS DE LAZO CERRADO CUANDO K VARIA DE 0 A ∞ Siendo Gp(s) una relación de polinomios, asumimos que Siendo los coeficientes de Gp reales, los ceros y polos complejos conjugados deben aparecer de a pares (4)

El polinomio (5) Las raíces de Son los puntos del plano s que satisfacen la (5) para algún valor de K. Significado geométrico de la ecuación (5): Fase (+) medida en sentido Anti-Horario Fase (-) medida en sentido Horario

Cada vector al pto. s1 puede ser expresado: (6) Esta última ecuación consta de 2 partes: CONDICIÓN DE MAGNITUD: (7)

CONDICIÓN DE FASE (8) Si dos ángulos o sus múltiplos difieren en ±2p pueden ser considerados los mismos.

Así, la CONDICIÓN DE FASE para la (5) resulta: (8) O en forma genérica: (9) El Lugar Geométrico de los puntos del plano-s que satisfacen la Condición de Ángulo, es el Lugar de las Raíces del Polinomio Característico o Lugar Geométrico de los Polos de Lazo Cerrado.

CONDICIÓN DE FASE (9) Se observa que K no aparece de forma explícita en la condición de fase (9); La construcción del Lugar de las Raíces es por lo tanto la búsqueda para todos los si en los cuales la fase total de G(si) es igual a 0 o p.

CONCLUSIONES: Los polos de lazo cerrado que atienden las especificaciones de desempeño deben satisfacer la condición de ángulo para que pertenezcan al Lugar de las Raíces (LR). Si esos polos pertenecen al LR el valor de ganancia K para cumplir con las especificaciones de desempeño, surge de la condición de magnitud.

PASOS PARA EL TRAZADO DEL LR Utilizamos por el momento la condición de fase; Consideramos el caso para K > 0; Por tanto, el L.R. consiste de todas las si cuyas G(si) dan un total de fase igual a p radianes o 180° Consideremos que: O sea que la fase total será el aporte de las fases de los ceros y de los polos:

1° PASO: Dibujar los polos y ceros de Gla(s). 2° PASO: Determinar el LR sobre el eje real. Los puntos de partida del LR son los polos de L.A., K = 0 Los puntos de llegada del LR son los ceros de L.A., K = ∞ Usamos puntos de prueba y aplicamos la condición de fase en cada uno de ellos

2° PASO: Determinar el LR sobre el eje real. Fase Total de c/polo a s1 = 0° “No” se satisface la Condición de Fase s1 no es una raíz de Fase Total de c/polo a s2 = -180°(-p) “Si” se satisface la Condición de Fase Fase Total de c/polo a s3 = -360°(-2p) “No” se satisface la Condición de Fase

2° PASO: Determinar el LR sobre el eje real. Fase Total de c/polo a s4 = -180°(-p) “Si” se satisface la Condición de Fase El LR sobre el eje real resulta entonces: Los tramos entre p1 y p2 y entre p3 y -∞

3° PASO: Determinar las Asíntotas. Indican hacia donde tienden los polos de L.C. cuando K de 0 a ∞ En sistemas ESTRICTAMENTE PROPIOS (más polos que ceros): Grado relativo de Gp(s) o Gla(s) Estas Asíntotas parten de un punto sobre el eje real CENTROIDE Para nuestro ejemplo: N° asíntotas = 3

3° PASO: Determinar ángulo de las asíntotas. Estas (n-m) asíntotas tienen los siguientes ángulos: La condición de ángulo se torna: Generalizando tenemos: Para nuestro ejemplo los ángulos resultantes son:

Para nuestro ejemplo: n-m Ángulos asíntotas 1 2 3 4 5 Podemos listar ángulos de las asíntotas para otros sistemas según el grado relativo de Gla(s):

4° PASO: Determinar los Puntos de Ruptura o Bifurcación Son puntos donde 2 o mas ramas del LR se encuentran y luego divergen; Pueden encontrarse sobre el eje real o en algún punto sobre el plano complejo; Los puntos de ruptura pueden ser REALES o COMPLEJOS; Los puntos de ruptura pueden ser de “dispersión”, donde K alcanza un “máximo relativo” o de “confluencia”, donde K alcanza un mínimo relativo.

Sabiendo que: Evaluando la derivada 1° e igualándola a cero: Los puntos de ruptura surgen de las raíces del polinomio:

En nuestro ejemplo: El punto de ruptura debe pertenecer al LR: «Sustituimos las raíces obtenidas y verificamos el signo de K»

5° PASO: Determinar los puntos donde el LR cruza al eje imaginario Se sustituye s = jw en el polinomio característico, o sea:

Parte Imaginaria = 0: Parte Real = 0 y sustituyendo w: Puntos de cruce en el eje imaginario: Valor de Ganancia Crítica:

Lugar de las Raíces para la planta de ejemplo aquí presentada:

6° PASO: Determinar los ángulos de partida y de llegada Cada trayectoria del L.R. parte de un polo en L.A.; Polo REAL, el ángulo de partida es 0 o 180°; Polo COMPLEJO, ángulo de partida asume ángulos entre 0 y 360°; Idénticas situaciones se tienen para los ángulos de llegada a los ceros, REALES O COMPLEJOS. Consideremos el siguiente ejemplo:

6° PASO: Determinar los ángulos de partida y de llegada L.R sobre eje real: Hay 4 polos de L.A. por tanto hay 4 trayectorias: 2 sobre eje real y 2 de los polos C.C.

6° PASO: Determinar los ángulos de partida y de llegada Dibujamos un círculo de radio muy pequeño entorno a (-1+j4); Encontramos un punto s1 sobre el círculo cuya fase total sea p; Los vectores dibujados desde los restantes ceros y polos a s1 son  a los dibujados al pto. (-1+j4); q1 es el ángulo del vector desde (-1+j4) al punto s1.

6° PASO: Determinar los ángulos de partida y de llegada Los ángulos de los vectores de cada cero y polo al punto (-1+j4) son: De la condición de fase: Ángulo de Partida:

Rango de Estabilidad del L.R.: Condición de Magnitud Consideremos el siguiente sistema con realimentación unitaria: Con el Test de Routh: Ahora calculamos este intervalo con la Condición de Magnitud:

Rango de Estabilidad del L.R.: Condición de Magnitud a) L.R. sobre el eje real: b) Tiene 2 ceros y 3 polos, o sea: c) Ángulo de partida polos C.C.= 242° y ángulo de llegada ceros C.C. = -143° d) Los puntos de ruptura salen del polinomio: Las raíces de este polinomio son:

Rango de Estabilidad del L.R.: Condición de Magnitud Para K = 0 1 polo inestable en s = 1 y un par de polos C.C. estables Para K > K1 el sistema es estable

Rango de Estabilidad del L.R.: Condición de Magnitud Los 3 polos de L.C. se mantienen en el S.P.I hasta K = K2 Para K > K2 el sistema es inestable

Rango de Estabilidad del L.R.: Condición de Magnitud De la Condición de Magnitud: Igual resultado que el obtenido por el arreglo de Routh

Proyecto de Compensadores PD, PI y PID
Controlador Proporcional: Sistema de Tipo 1 Raíces de L.C: Puede aplicarse el criterio de dominancia para simplificar el diseño. Especificaciones impuestas: ts = 1seg. y Mp = 10%

Controlador Proporcional: Sistema de Tipo 1 Sistema de Reducida Estabilidad relativa. Error de posición = 0

Controlador Proporcional: Sistema de Tipo 1 Línea de ts = 1seg -4 Solo con Kp, no se consigue respuesta con tiempo de asentamiento menor a 1 segundo

Controlador Proporcional: Sistema de Tipo 1 Nueva Especificación: Con Kp = 0,5 las raíces de L.C. resultan:

Controlador Proporcional: Sistema de Tipo 1 Kp = 1 Kp = 0,5 ts = 1,4seg Si se especifica que el essv sea mayor: Mejora la estabilidad del sistema en lazo cerrado: Disminuyen las oscilaciones y el desempeño transitorio mejora

Controlador Proporcional: Sistema de Tipo 1 Kp = 1 Kp = 0,5 A medida que aumenta Kp, el essv disminuye. En sistemas que poseen una diferencia (n – m) > 2, o sea, por lo menos 2 polos más que ceros, un aumento de Kp provoca un deterioro de la respuesta transitoria del sistema en lazo cerrado.

Controlador Proporcional: Sistema de Tipo 1 Especificaciones: Los polos dominantes deben estar en: Con un control Proporcional no se atienden las especificaciones porque ninguna rama del L.R. pasa por s1,2 x S1 x S2

Controlador Proporcional-Derivativo: Sistema de Tipo 1 Especificaciones: Para que estos polos pertenezcan al L.R. se puede introducir una acción proporcional-derivativa. Para saber la posición del cero se impone la condición de ángulo:

Controlador Proporcional-Derivativo: Sistema de Tipo 1 El aporte de fase de este compensador es de ≃ 37º El valor de ganancia Kd surge de la condición de magnitud: Compensador Resultante:

Controlador Proporcional-Derivativo: Sistema de Tipo 1 Podemos verificar ahora, cuanto es el error para una entrada en rampa y comparar con el proporcional para essv = 20%

Lugar de las Raíces con Compensador PD

Respuesta al Escalón Unitario con Compensador PD

Respuesta a la Rampa con Compensador PD

Comparación de ambas respuestas: Sistema Sin compensación y con compensación PD

Proyecto de Compensadores PD
Controlador Proporcional-Derivativo: Sistema de Tipo 1 Especificaciones: Mismo Sobrepaso pero menor tiempo de asentamiento

Controlador Proporcional-Derivativo: Sistema de Tipo 1 Los polos dominantes resultan en -10 ± j13,6 y -4 No se puede hablar de polos dominantes.

Mejora significativa de la estabilidad relativa y global del sistema en lazo cerrado

Controlador Proporcional-Integral: Sistema de Tipo 0 Especificaciones de proyecto: a- Error nulo de régimen permanente para entrada constante; b- Error de régimen permanente igual a 20% para entrada rampa; c- Máximo sobrepaso menor o igual a 15%; d- Tiempo de establecimiento de aproximadamente 2 seg.

Controlador Proporcional-Integral: Sistema de Tipo 0 De las especificaciones se tiene que cumplir: Y se obtienen la parte real s y la parte imaginaria wd de las raíces dominantes Además hay que agregar un polo al origen para que:

Controlador Proporcional-Integral: Sistema de Tipo 0 Se introduce primero entonces un Integrador: Se puede proyectar k para la especificación :

Controlador Proporcional-Integral: Sistema de Tipo 0 El hecho de adicionar el integrador introduce dos polos de lazo cerrado complejos conjugados sobre el eje imaginario, que hace que el sistema presente una salida con oscilaciones sostenidas para entrada constante…

Controlador Proporcional-Integral: Sistema de Tipo 0 … y oscilatoria en torno a la entrada de referencia en rampa.

Controlador Proporcional-Integral: Sistema de Tipo 0 Manteniendo el valor de k proyectado para que no varíe el error essv, proyectamos un PI ubicando el cero en base a la condición de tiempo de establecimiento de 2 seg. para criterio del 2%.

Controlador Proporcional-Integral: Sistema de Tipo 0

Observamos que se cumple la condición de tiempo de establecimiento de 2,5 seg. o 2 seg. según se tome el criterio del 2 o del 5% respectivamente. Por otro lado, el sobreimpulso no se redujo con este compensador, manteniéndose en torno al 40%.

Controlador Proporcional-Integral-Derivativo - PID Manteniendo el cero del PI en el valor de "a" vamos a proyectar un PD para así conformar un compensador PID, de tal forma que a partir de la especificación de máximo sobreimpulso y la condición de fase del lugar de las raíces se modifique este último para cumplir con tal especificación. Polos Dominantes de LC: Proyectar b por la condición de fase y K por la condición de magnitud.

Condición de Fase:

Condición de Magnitud:

Controlador Proporcional-Integral-Derivativo - PID

Controlador Proporcional-Integral-Derivativo - PID Se incremento la estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado.

Controlador Proporcional-Integral-Derivativo - PID Se incremento la estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado: Margen de Fase de 58° Y Margen de Ganancia Infinito.

Controlador Proporcional-Integral-Derivativo - PID

Estabilidad de Sistemas LIT
CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ: (Open LHP) Para la estabilidad se necesita calcular los polos de G(s) o las raíces de D(s) DEFINICIÓN: Un polinomio D(s) con coeficientes reales es llamado polinomio Hurwitz si todas las raíces tienen parte real negativa Para que D(s) sea un polinomio Hurwitz cada coeficiente debe ser positivo o todos los coeficientes deben tener el mismo signo. D(s) o –D(s) tienen el mismo conjunto de raíces.

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ: (Open LHP) Si uno de los coeficientes de D(s) es cero o negativo, entonces el polinomio NO ES Hurwitz. O SEA: Existen una o mas raíces con parte real positiva o imaginarias puras. CONDICIÓN NECESARIA PARA LA ESTABILIDAD: EL POLINOMIO D(s) DEBE TENER TODOS LOS COEFICIENTES POSITIVOS, O DEBEN TENER EL MISMO SIGNO

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ: (Open LHP) CONDICIÓN NECESARIA PARA LA ESTABILIDAD: EL POLINOMIO D(s) DEBE TENER TODOS LOS COEFICIENTES POSITIVOS, O DEBEN TENER EL MISMO SIGNO ESTA CONDICION ES TAMBIEN SUFICIENTE PARA POLINOMIOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN

TEST DE ROUTH: CONDICIÓN SUFICIENTE

TEST DE ROUTH: CONDICIÓN SUFICIENTE El polinomio D(s) es un polinomio Hurwitz si y solamente si cada elemento de la tabla es positivo o de forma equivalente si cada elemento de la primera columna es positivo. Ejemplo: INESTABLE

TEST DE ROUTH: CONDICIÓN SUFICIENTE Ejemplo: INESTABLE APARECE UN ELEMENTO NULO O NEGATIVO NO ES NECESARIO CONTINUAR LA TABLA

Ejemplo: INESTABLE APARECE UN ELEMENTO NEGATIVO

TEST DE ROUTH: NÚMERO DE RAÍCES EN EL SEMIPLANO DERECHO (Open RHP) Ejemplo: Hay 2 cambios de signo N° raíces en el SPD = Cambios de signo en la primer columna

OBSERVACIONES SOBRE LA TABLA DE ROUTH Si el grado “n” de D(s) es par, la 1° línea tendrá un elemento mas que la segunda línea; Si n es impar las dos primeras líneas tendrán el mismo número de elementos; En ambos casos el número de elementos decrece en uno en las potencias impares de s; Los elementos a la derecha de las líneas que corresponden a las potencias pares de s son iguales: Este método requiere menos cálculos que el de los productos cruzados y fácil de programar en una computadora.

CASOS ESPECIALES: El 1° elemento en cualquiera de las líneas de la tabla de Routh es nulo y los otros no. Ejemplo: Condición Necesaria NO SE VERIFICA: INESTABLE Hay 2 cambios de signo: 2 raíces en el SD plano s Si los coeficientes superior e inferior a e son de signo diferente  existen raíces en el semiplano derecho. e<<1

CASOS ESPECIALES: El 1° elemento en cualquiera de las líneas de la tabla de Routh es nulo y los otros no. Ejemplo: Condición Necesaria SE VERIFICA: ESTABLE No existe cambio de signo: Hay raíces sobre el eje jw Si los coeficientes superior e inferior a e son de igual signo  existen raíces sobre el eje imaginario.

CASOS ESPECIALES: Todos los elementos de una línea de la tabla de Routh son nulos. En este caso puede afirmarse que el sistema es INESTABLE; Existen raíces de igual valor simétricas respecto a los ejes; El polinomio tiene uno o mas pares de raíces imaginarias ¿Que se hace? Se sustituye la fila en cuestión por la derivada de un polinomio auxiliar Pa(s)

CASOS ESPECIALES: Todos los elementos de una línea de la tabla de Routh son nulos. Ejemplo: La CONDICIÓN NECESARIA NO SE VERIFICA: INESTABLE Polinomio Auxiliar:

CASOS ESPECIALES: Todos los elementos de una línea de la tabla de Routh son nulos. Ejemplo: Existe 1 cambio de signo: Hay una raíz en el SPD

UTILIDAD DEL CRITERIO DE ROUTH: Sea un sistema en LC cuyo D(s) está dado por: Encontrar el rango de valores de k para que el sistema sea ESTABLE

Se verifican el sobrepaso y el tiempo de asentamiento.
El proceso se resume a calcular los polos de lazo cerrado en función de K.

5° PASO: Determinar los puntos donde el LR cruza al eje imaginario El elemento igual a cero en la 1° columna indica raíz imaginaria:

CONTROL CLÁSICO Y MODERNO

Presentaciones similares

Presentación del tema: "CONTROL CLÁSICO Y MODERNO"— Transcripción de la presentación:

Presentaciones similares

Sobre el proyecto

Feedback

Iniciar la sesión

Autorizarse a través de una red social:

CONTROL CLÁSICO Y MODERNO

Presentaciones similares

Presentación del tema: "CONTROL CLÁSICO Y MODERNO"— Transcripción de la presentación:

Presentaciones similares

Sobre el proyecto

Feedback