CONTROL CLÁSICO y MODERNO

CONTROL CLÁSICO y MODERNO
Profesor: Fernando Botterón Facultad de Ingeniería U.Na.M

Análisis y Proyecto en el Dominio de la Frecuencia
Introducción. Justificación del Método. Especificaciones en el dominio de la frecuencia: Respuesta en frecuencia de lazo cerrado. Pico y frecuencia de resonancia, ancho de banda, pendiente de corte. Relaciones con los parámetros de la respuesta temporal. Efecto de ceros y polos en la F.T del camino directo. Respuesta en frecuencia de lazo abierto: Análisis de Estabilidad: MF y MG. Relación con los parámetros de la respuesta temporal. Proyecto de Compensadores utilizando la Respuesta en Frecuencia.

Especificaciones en el dominio de la frecuencia
Características en el dominio del tiempo. Medición más realista. Desempeño de un sistema de control En base a la respuesta a determinadas señales patrones de prueba. Características en el dominio del tiempo (Complicadas de obtenerse para sistemas de orden elevado). Se limitan a sistemas de orden reducido Análisis del desempeño en cada caso Conjunto de métodos gráficos que NO se limitan a sistemas de orden reducido Características en el dominio de la frecuencia

Estabilidad Lazo Abierto DOMINIO DEL TIEMPO Desempeño DOMINIO DE LA FRECUENCIA CORRELACIÓN DEL DESEMPEÑO ENTRE AMBOS DOMINIOS PARA UN SISTEMA LINEAL Lazo Cerrado

MOTIVACIÓN PARA EL USO DEL DOMINIO DE LA FRECUENCIA DISPONIBILIDAD DE HERRAMIENTAS ANALITICAS PROPORCIONA INFORMACION VALIOSA PARA EL ANALISIS Y PROYECTO DE SISTEMAS DE CONTROL MAS COMPLEJOS MEDICIONES DE LA SENSIBILIDAD AL RUIDO DEL SISTEMA VARIACIONES EN LOS PARAMETROS: ROBUSTEZ

Respuesta en frecuencia de lazo cerrado de un sistema lineal SISO En régimen permanente senoidal Describen completamente el desempeño en régimen estable. Magnitud Fase IMPORTANTE: Pueden predecir el desempeño en estado estacionario y transitorio.

Porque usar Gráficos de Bode para el proyecto? Primero: Porque estos pueden dibujarse a partir de sus asíntotas. Segundo: y más importante, Esto es mucho más complejo de ser realizado usando gráficos polares.

Pico de Resonancia, Frecuencia de Resonancia Ancho de Banda, Pendiente de Corte

Pico de Resonancia, Mr Mp Mr : Indicación de la Estabilidad Relativa Mr (Elevados) ≡ Mp (Elevados)

Ancho de Banda, BW: Determina el desempeño transitorio ts tr BW es inversamente proporcional al tr y al ts BW caracteriza la capacidad para filtrar ruidos BW caracteriza la robustez del sistema

Mr , wr y BW de un sistema de segundo orden: Relación con x y wn Normalizamos con relación a wn2 Denominamos a “frecuencia normalizada” FT de lazo cerrado Normalizada

Mr , wr y BW : Relación con x y wn El Módulo y Fase de la F.T de L.C normalizada es: La Frecuencia de Resonancia wr se obtiene a partir de la d/du Pendiente de |Glc(ju)| es cero en w = 0 y el módulo es 1 Frecuencia de Resonancia Normalizada

Frecuencia de Resonancia: Frecuencia es un valor real Reemplazando ur en |Glc(ju)| se obtiene el: Pico de Resonancia:

Relación entre Mr y Mp

Relación entre Ancho de Banda (BW) y x Por definición: Llegamos a la siguiente ecuación, que posee 4 raíces: Dado que u es real positiva para todo valor de x :

Relación entre Ancho de Banda (BW) y x Dado que:

Relación entre Ancho de Banda (BW) y x El tr normalizado para una entrada en escalón sistema de 2°:

Relación entre Ancho de Banda (BW) y ts

Mr = f (x); Mr varía en forma inversamente proporcional a x. x = 0, Mr = ∞; No es un caso de interés. x = 0,707, Mr = 1 y wr = 0; x menor que 0, el sistema es inestable: Mr no tiene sentido. BW = f (x , wn); BW varia en forma lineal con wn; BW es directamente proporcional a wn e inversamente; proporcional a x (para un wn dado); Los tiempos de subida y de asentamiento (tr) y (ts) de la respuesta transitoria, son inversamente proporcionales al BW; El BW es directamente proporcional al Mr .

Efecto de un cero en la F.T. de camino directo
F.T.L.C es: Normalizando, obteniendo el módulo y derivando se obtiene, Mr , BW y wr Donde:

El efecto neto de introducir un cero en la F.T.L.A es Incrementar el Ancho de Banda y aumentar la Estabilidad Relativa del Sistema en LC

Efecto de un polo en la F.T. de camino directo
F.T.L.C es: T = 10 T = 5 T = 2 T = 0

El efecto neto de introducir un polo en la F.T.L.A es Disminuir el ANCHO de BANDA del Sistema en L.C y hacer que sea menos ESTABLE El Incremento de T (polo próximo al origen) hace que: Se incremente Mr y Mp; Disminuya el Ancho de Banda (BW) Aumenten los tiempos de subida tr y de asentamiento ts

Estabilidad con los Gráficos de Bode

- Cruce de ganancia, cruce de fase, MG y MF se determinan mas fáciles que en Nyquist. - Para proyecto, el efecto de los controladores se visualiza mas fácilmente. El MG es POSITIVO y el sistema es ESTABLE si la Magnitud en dB es NEGATIVA en el Cruce de Fase: MG POSITIVO se mide abajo del eje de 0dB.

- Cruce de ganancia, cruce de fase, MG y MF se determinan mas fáciles que en Nyquist. - Para proyecto, el efecto de los controladores se visualizan mas fácilmente. El MF es POSITIVO y el sistema es ESTABLE si la Fase es MAYOR que -180° en el Cruce de Ganancia: MF POSITIVO se mide arriba del eje de -180°.

M. de Fase y M. de Ganancia x Rta. Transitoria

K = 100 K = 300 K = 800 K = 1200

MF y MG versus Respuesta transitoria
K = 1500 Oscilaciones sostenidas: MF = MG = 0

Margen de Fase Versus Factor de Amortiguamiento
Función de Transferencia de Lazo Abierto En régimen permanente senoidal, Normalizando respecto a wn2 : Siendo FT de lazo abierto Normalizada

MF es la Fase donde y la frecuencia wcg es la frecuencia cross-over donde la curva de magnitud cruza el eje de 0dB, o sea : Esta ecuación tiene 4 raíces, de la cual se toma la que da valores de frecuencia reales y positivos:

MF o F es: Sustituyendo

MF versus x

Margen de Fase Versus Sobrepaso

Proyecto de Compensadores en el Dominio de Frecuencia
Controlador PD Con un cero en: Respuesta en Frecuencia:

Controlador PD Respuesta en Frecuencia para Kp = 1 y Kd = 0,5

Controlador PD Compensador PD tiene características pasa altas; El adelanto de fase puede utilizarse para mejorar el MF del sistema en L.C. Desventaja: La curva de Magnitud del PD lleva la Frecuencia de Cruce de Ganancia a un valor mas alto. Criterio de Proyecto: Ubicar la wc de forma que se logre el máximo aporte de Fase (↑MF) en la nueva wgc

Controlador PD

Controlador PD: Respuesta en Frecuencia del Sist. S.C

Controlador PD: Pasos para el proyecto 1 – Ver cuanta fase se necesita para alcanzar el MF deseado: -180° + MF(deseado) = Fase Necesaria; 2 – Ubicándose este valor en la curva de Fase del sistema Sin Compensar se obtiene la frecuencia de corte del PD, o sea, “a” 3 – Se considera un valor de Kp = 1 y de a = Kp/Kd se obtiene el valor de Kd. Nota: La fase adicional que agrega el PD va acompañada de un aumento de magnitud. Como resultado la Frecuencia de Cruce de Ganancia del sistema compensado resulta en un valor mas alto, en la cual la fase del sistema compensado va a corresponder a un MF un poco menor que el deseado.

Efectos del Controlador PD: – Mejora el Amortiguamiento reduciendo el sobrepaso – Aumenta el Ancho de Banda (BW) del sistema en L.C mejorando el rechazo a ruidos y tornando al sistema en L.C mas Robusto a Variaciones Paramétricas – Disminuye el Tiempo de Subida tr y de Asentamiento ts – Mejora el MG (resulta ∞) y el MF, disminuyendo el Pico de Resonancia, Mr – BW muy elevados pueden amplificar los ruidos de alta frecuencia a la entrada del sistema – No es adecuada su utilización para sistemas poco amortiguados o marginalmente estables.

Controlador PI Con un cero en: Respuesta en Frecuencia:

Controlador PI Respuesta en Frecuencia para Kp = 0,316 y Ki = 1

Controlador PI Compensador PI tiene característica pasa bajas; Si Kp < 1 la magnitud es negativa (< 0dB). Esta Atenuación se puede usar para mejorar la ESTABILIDAD. Desventaja: La Fase que introduce el PI es NEGATIVA lo que reduce el MF perjudicando la ESTABILIDAD. Criterio de Proyecto: Ubicar la wc del PI tan lejos a la izquierda como lo permita el BW sin degradar el MF del S.L.C.

Controlador PI: Pasos para el proyecto 1 – Se traza el gráfico de Bode del Sistema sin compensar; 2 – Se obtiene la fase del sistema sin compensar -180° + MF(deseado) = Fase Necesaria para obtener la frecuencia de cruce de ganancia del sistema compensado; 3 – En esta frecuencia se debe cumplir |Gp(jwgc)|+|Gc(jwgc)| = 0 4 – Para que la curva de magnitud del sistema compensado pase por 0 dB en wgc el PI debe proporcionar una atenuación igual a la de la Planta en esta frecuencia:

Controlador PI: Pasos para el proyecto 5 – Si la wc del PI está ubicada bien a la izquierda de wgc el atraso de fase introducido por el PI será despreciable. Para que no se deteriore el BW, el criterio es colocar la wc como mínimo una década debajo de wgc: 6 – Se trazan los gráficos de Bode para verificar si se cumplen las especificaciones.

Controlador PI: Respuesta en Frecuencia del Sist. S.C

Controlador PI: Pasos para el proyecto
1 – Se traza el grafico de Bode del Sistema S.C.; 2 – Se obtiene la fase del sistema sin compensar: -180° + MF(deseado) + q = Fase Necesaria para obtener la frecuencia de cruce de ganancia del sistema compensado; 3 – En esta frecuencia se debe cumplir |Gp(jwgc)|+|Gc(jwgc)| = 0 4 – Para que la curva de magnitud del sistema compensado pase por 0 dB en wgc el PI debe proporcionar una atenuación igual a la de la Planta en esta frecuencia: 5 – A continuación se proyecta Ki y luego se trazan los gráficos de Bode para verificar si se cumplen las especificaciones.

Efectos del Controlador PI: – Mejora el Amortiguamiento y reduce el sobrepaso – Mejora el MG y el MF, disminuyendo el Pico de Resonancia, tornando mas ESTABLE al sistema en L.C. – Debido a la característica pasa bajas permite filtrar los ruidos de alta frecuencia – Disminuye el Ancho de Banda (BW) del sistema en L.C – Incrementa el Tiempo de Subida tr y de Establecimiento ts

Controlador de Adelanto de Fase La F.T. normalizada para proyecto puede escribirse Separación entre el polo y el cero está dada por el parámetro “a” Respuesta en Frecuencia

Controlador de Adelanto de Fase Este Compensador añade fase en las frecuencias arriba del cero -1/aT incrementando también el módulo por encima del cero; El adelanto de fase puede utilizarse para mejorar el MF del sistema en L.C. La máxima cantidad de fase que puede añadir es fm; Criterio de Proyecto: Ubicar fm en la nueva wgc para conseguir el máximo aporte de Fase (↑MF).

Controlador de Adelanto de Fase Valor máximo de fm y frecuencia wm : wm es la media geométrica de las dos frecuencias de corte Se tiene que: Para determinar la fase máxima:

Controlador Adelanto de Fase: Procedimiento de proyecto 1 – Se trazan los gráficos de Bode para ver cuanta fase se necesita adicionar para alcanzar el MF deseado: 2 – Con el valor de fm se obtiene el valor de a. 3 – Con este valor de a debe cumplirse que: Se debe colocar wm donde la magnitud del SNC sea igual a:

Controlador Adelanto de Fase: Procedimiento de proyecto 4 – Ubicando en la grafica de Bode el valor de magnitud obtenido en el punto anterior, se obtiene wm y con el valor de a se obtiene T: 5 – Los gráficos de Bode del sistema con el compensador se trazan para verificar las especificaciones de desempeño. 6 – Si no se cumplen debe elegirse un nuevo valor de fm y repetir los pasos.

Efectos del Controlador de Adelanto de Fase: – Mejora el Amortiguamiento reduciéndose los tiempos de subida y de asentamiento; – Se Mejora significativamente el MF, debido a la característica de fase del compensador en la frecuencia wgc; – Aumenta el Ancho de Banda (BW) del sistema en L.C mejorando el rechazo a ruidos, tornando al sistema en L.C mas Robusto a Variaciones Paramétricas y aumentando la velocidad de respuesta; – El error en estado estable del sistema no es afectado. – No es adecuada su utilización para sistemas poco amortiguados o marginalmente estables.

Limitaciones del Controlador de Adelanto de Fase: – Si el sistema es inestable o con margen de estabilidad relativo bajo, el adelanto de fase adicional puede ser excesivo lo que resulta en un valor elevado del parámetro a. Problemas de esto: – Se incrementa demasiado el BW pudiendo amplificar los ruidos de medida en demasía; – Si los ruidos están a la salida de la planta, este BW alto puede ser beneficioso para rechazar los mismos; además de tornar mas robusto al sistema frente a: Variaciones Paramétricas y Perturbaciones Exógenas.

Limitaciones del Controlador de Adelanto de Fase: – Si el sistema es inestable o con margen de estabilidad relativo bajo, la pendiente negativa de la curva de fase en la nueva frecuencia de cruce de ganancia hace que la fase del compensador se sume a un valor de ángulo muy pequeño. Problemas de esto: – El MF deseado se obtiene con un valor muy grande de a. Un valor elevado de a requiere un amplificador de ganancia elevada lo que resulta costoso y a veces inviable. Por tanto es recomendable usar dos etapas en cascada. – Aun cuando se satisface el requerimiento de fase, el sistema puede resultar condicionalmente estable. O sea, durante el transitorio, una parte de la curva de fase puede estar debajo de 180°. O sea, cuando el sobrepaso (-) es mayor que el (+).

Limitaciones del Controlador de Adelanto de Fase: – El máximo valor de fase que el compensador de Adelanto de Fase puede dar es un poco menor que 90°, por tanto, si se necesita adicionar una fase mayor a 90° se deben emplear etapas múltiples en cascada.

Controlador de Atraso de Fase La F.T. normalizada para proyecto puede escribirse Separación entre el polo y el cero está dada por el parámetro “a” Respuesta en Frecuencia

Controlador de Atraso de Fase Este Compensador al igual que el PI introduce atenuación en las altas frecuencias, arriba del cero -1/aT dada por: Esta atenuación es beneficiosa dado que Mejora la ESTABILIDAD e incrementa el amortiguamiento del S.L.C. Criterio de Proyecto: Ubicar el cero del compensador por debajo de wgc para que el compensador reste la mínima cantidad de fase al MF del sistema compensado.

Controlador Atraso de Fase: Procedimiento de proyecto 1 – Se trazan los gráficos de Bode del sistema sin compensar para determinar el MF y MG actual del sistema S.N.C.; 2 – Se ubica este valor de fase en la curva de fase del S.N.C. para encontrar la que será la nueva wgc del S.C.; 3 – Para llevar la curva de magnitud debajo de 0 dB en wgc, el controlador debe proveer una atenuación igual a: O sea que en wgc:

Controlador Atraso de Fase: Procedimiento de proyecto 4 – De esta condición podemos obtener el parámetro a: O también, a partir del valor de fase del compensador, esto es: 5 – El cero de este controlador debe estar ubicado lo suficientemente lejos por debajo de wgc, para que el atraso de fase sea pequeño. Por otro lado, no debe alejarse demasiado el cero para no deteriorar el BW.

Controlador Atraso de Fase: Procedimiento de proyecto 6 – Como criterio de proyecto, la frecuencia del cero debe estar como mínimo una década debajo de wgc. De esta condición podemos obtener el parámetro T: 5 – Se trazan los gráficos de Bode para verificar si los criterios de desempeño se satisfacen. En caso contrario deben reajustarse los valores de a y de T y se repite el procedimiento.

Efectos del Controlador de Atraso de Fase: – Incorpora Atenuación al sistema en Lazo Cerrado lo que se traduce en mayores Márgenes de Estabilidad; pero esta mejora de la Estabilidad Relativa se produce a EXPENSAS de un MENOR Ancho de Banda BW. – La pérdida de Ancho de Banda (BW) del sistema en L.C aumenta los tiempos de subida y de asentamiento; pero por otro lado disminuye la SENSIBILIDAD a los ruidos de alta frecuencia y a las perturbaciones – Un Ancho de Banda Menor, torna al sistema MENOS ROBUSTO a variaciones paramétricas.

Constantes de Posición y Velocidad 0,1 1 10 w dB Para sistemas de Tipo “0”, (w = 0) o bajas frecuencias, La pendiente del gráfico de magnitud es nula

Constantes de Posición y Velocidad dB A bajas frecuencias, el gráfico de magnitud está determinado por: 0,1 1 10 w1 w Para a dB w = 1: En 0 dB:

CONTROL CLÁSICO y MODERNO

Presentaciones similares

Presentación del tema: "CONTROL CLÁSICO y MODERNO"— Transcripción de la presentación:

Presentaciones similares

Sobre el proyecto

Feedback

Iniciar la sesión

Autorizarse a través de una red social:

CONTROL CLÁSICO y MODERNO

Presentaciones similares

Presentación del tema: "CONTROL CLÁSICO y MODERNO"— Transcripción de la presentación:

Presentaciones similares

Sobre el proyecto

Feedback