Alessandra Zurita Cahill La Integral definida y sus aplicaciones

Integral definida: definición La integral definida se define como: Donde F’(x) = f(x) y además f(x) es una función continua y finita en el intervalo de integración [a; b]. a y b reciben el nombre de extremo inferior y superior de integración, respectivamente.

Área como límite de una suma Considere la región definida por la gráfica de la función y = f(x), el eje X y las verticales x = a y x = b, siendo f(x) ≥ 0 y f continua en el intervalo [a; b]. Para abordar el problema de hallar el área de dicha región, la relacionaremos con áreas de figuras conocidas, por ejemplo rectángulos

Ejemplo 1: La siguiente figura muestra la región cuya área se desea calcular El área de una región podrá plantearse por una integral definida: A = f(b) – f(a)

Dividiremos dicha región en rectángulos verticales. Por ejemplo ...

n = 6 rectángulos

n = 12 rectángulos

n = 24 rectángulos

n = 48 rectángulos

n = 99 rectángulos

Interpretación geométrica de la integral definida La integral definida plantea el límite de una suma de áreas. Suma desde “a” hasta “b” altura ancho

Forma 2: integral definida Ejemplo 2 ¿De cuántas formas podemos calcular el área “R”? f(x) = 2x Forma 1: Base*altura/2 2*4/2=4 u2 0 2 Forma 2: integral definida R

Como acaba de verse, el área de una región podrá plantearse como el límite de una suma de áreas. Este límite está dado por la integral definida: Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y positiva en ese intervalo.

¿Cómo está definida el área sombreada de los siguientes gráficos ¿Cómo está definida el área sombreada de los siguientes gráficos? Analicemos los siguientes ejemplos…….

Ejemplo 3: área debajo del eje X La altura no puede ser negativa Respuesta:

Ejemplo 4: área por encima y debajo del eje X Respuesta: La altura no puede ser negativa

Ejemplo 5: área entre dos curvas ¿Cómo podemos aplicar los conocimientos previos a este gráfico? Si se sabe que:

Ejemplo 5 (recordando..) El área bajo la curva f(x) es… El área bajo la curva g(x) es…

Ejemplo 5 Respuesta:

Aplicaciones de la Integral Definida

1. Excedente del Consumidor Aplicaciones de la Integral Definida 1. Excedente del Consumidor 2. El Excedente del Productor 3.Estimación del cambio neto, a partir de la razón de cambio, en el valor de reventa de bienes capitales o en la utilidad, ingresos y costos de una empresa 4.Estimación del exceso de utilidad de un plan de inversión, respecto de otro

ANÁLISIS 1: Recordando el concepto de la demanda Precio de los alimentos Una curva de demanda resume la relación inversa existente entre precios y cantidades. G E F 2,00$ 4 12 20 1,00$ 0,50$ Una curva de demanda refleja las cantidades que están dispuestos a comprar los consumidores, ante determinados precios. Demanda Una curva de demanda representa la disponibilidad marginal de gastar de parte del consumidor. Alimentos (unidades mensuales)

ANÁLISIS 2: La disponibilidad total a gastar de los consumidores S/. por unidad 0 1 2 3 4 5 6 ……. Demanda q En el ejemplo….DTG Generalizando: La disponibilidad total a gastar de los consumidores refleja la utilidad total que alcanzan los consumidores. La disponibilidad total a gastar de los consumidores está representada por toda el área de la región que está por debajo de la curva de demanda

ANÁLISIS 3: El gasto de los consumidores q Demanda 0 1 2 3 4 5 6 ……. P S/. por unidad 4 3 2 Oferta Si se define al gasto como p.q.... ¿Cuál sería el gasto efectuado por los consumidores en este ejemplo? RTA: S/. 8 ¿Cuál sería el área respectiva? RTA…. E Gasto

ANÁLISIS FINAL: El excedente de los consumidores La disponibilidad a gastar en este caso es…. q Demanda 0 1 2 3 4 5 6 ……. P S/. por unidad 4 3 2 q Demanda 0 1 2 3 4 5 6 ……. P S/. por unidad 4 3 2 Análisis 2 El gasto efectivo (lo que realmente gastan) en este caso es…. Análisis 3 = 8u2 Finalmente…. - Todos aquellos consumidores que estuvieron dispuestos a pagar un precio mayor que el del mercado (S/.2 por unidad), se benefician El área que representa dicho “excedente” es el EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR : Área de Disponibilidad total – Área de Gasto Gasto

Resultado del ejemplo En este ejemplo… Generalizando: p p = D(q) EC 2 4 q p EC

La ecuación de demanda para un producto es p = D(q) = -q2+25, para Ejercicio Matemático La ecuación de demanda para un producto es p = D(q) = -q2+25, para 0 < q < 5. Sabiendo que p es el precio por unidad en dólares y q la cantidad de unidades demandadas. (a) ¿Cuál es la disponibilidad total de gasto de los consumidores de este mercado, si se sabe que el precio de mercado asciende a $9? (b) ¿Cuál es el EC?

Ejercicios del libro Problemas de texto : Haeussler, Jr; “Matemáticas para administración y economía”; páginas 672-674