PROBLEMAS DE MAXIMOS Y/O MÍNIMOS Prof. Luis Martínez Catalán 2008
a) Hallar dos números enteros positivos cuya suma sea 20 y Su producto sea máximo. b)La suma de sus cuadrados sea mínima. c)El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo. Solución: Sea “ x ” uno de los números, el otro es “20 -x ”
a)Sea el producto. Para el producto de los números es máximo
b)Sea la suma de los cuadrados de los números tiene un mínimo relativo para y es
c)
no hay información, además el producto 0 no es un producto máximo (valor extraño)
un mínimo del producto (valor extraño) un máximo para y el producto es,
Ej: Demostrar que entre todos los terrenos rectangulares de perímetro dado, conviene adquirir (invertir), en aquel que es cuadrado, por ser de área máxima. Solución Deseamos qué el área del rectángulo sea máxima, sustituyendo en función de, se tiene:
Derivando con respecto a Sustituyendo en para Los lados del rectángulo de área máxima son e, que son los lados de un terreno cuadrado
Ej: Un barco se fleta para un paseo. El precio del pasaje es de $100 y el mínimo de personas inferior o igual a 100, la compañía reduce el pasaje en $0,6 por cada persona que exceda los 100. ¿Qué número de pasajeros produce la mayor ganancia, si la capacidad del barco es para 150 personas? Solución : precio de c/u de los pasajes : número de pasajeros El número de pasajeros es 133, el que produce mayor ganancia.
DEF: Si y son funciones de, tales que y ; entonces, la función tome la forma indeterminada en a. REGLA DE L’HÔPITAL, atribuida al matemático frances Guillaume Francois de L’Hôpital (1661 – 1707) Sea y funciones en, las cuales son diferenciables en un intervalo excepto, posiblemente, con el número TEOREMA: (para la indeterminación )
Supóngase que para todo en, Entonces, si yySi, entonces se cumple NOTA: la regla de L’Hôpital también es válida para la forma indeterminada si Ej: 1) 2)