INAOE CURSO PROPEDEUTICO PARA LA MAESTRIA EN ELECTRONICA 2010 Métodos Matemáticos Capítulo 2

EDO de segundo orden Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de 2o. Orden Forma General

Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada La solución particular proviene de la forma de f(x)

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Ecuaciones Homogeneas Ecuación diferencial de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, homogénea Ecuación característica

Ecuaciones diferenciales de segundo orden La ecuación auxiliar: Raices reales y diferentes. Si la ecuación auxiliar: Con solución: donde: Entonces la solución a: Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de segundo orden La ecuación auxiliar: Raices reales e iguales. Si la ecuación auxiliar: Con solución: donde: Entonces la solución a: Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de segundo orden La ecuación auxiliar: Raices complejas. Si la ecuación auxiliar: Con solución: donde: Entonces las soluciones a la ecuación auxiliar son complejas conjugadas, y por tanto : Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de segundo orden La ecuación auxiliar: Raices complejas. Y la solución a la ecuación diferencial es de la forma: Como: Entonces: Y la solución a una ecuación diferencial con raíces complejas esta dada por: Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Ecuaciones Homogeneas: ejemplos Solucionar: Cuya ecuación característica es: Cuyas raíces son reales y distintas Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Ecuaciones Homogeneas: ejemplos Solucionar: Cuya ecuación característica es: Cuyas raíces son reales e iguales Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Ecuaciones No-homogeneas. Coeficientes indeterminados La ecuación diferencial de segundo orden, de coeficientes constantes, lineal, no homogénea, es del tipo: La solución está dada en dos partes y1 + y2: La parte 1, y1 es la solución a la ecuaciòn homogénea, y es llamada la solución complementaria. La parte 2, y2 la cual es llamada la solución particular. Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Ecuaciones No-homogeneas: Solución complementaria ejemplo, para solucionar : solución complementaria Ecuación auxiliar: m2 – 5m + 6 = 0  la solución m = 2, 3 Y la solución complementaria es y1 = Ae2x + Be3x , donde: Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Ecuaciones No-homogeneas: Solución Particular (b) Solución Particular Se presupone una forma para y2 tal que y2 = Cx2 + Dx + E, y se sustituye en: Lo cual da: permitiendo: De forma que: Métodos Matemáticos - INAOE

Solución complementaria + solución particular Ecuaciones diferenciales de segundo orden Ecuaciones No-homogeneas: Solución Completa (c) La solución completa a: consiste de: Solución complementaria + solución particular La cual es: Métodos Matemáticos - INAOE

COEFICIENTES INDETERMINADOS Ecuaciones No-homogeneas: Solución Particulares La forma general que se presupone para la integral particular depende de la forma del lado izquierdo de la ecuación no homogénea. La tabla siguiente puede ser usada como una guía: Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Solucionar: Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Solucionar: Métodos Matemáticos - INAOE

EJEMPLO: Resolver la sig. Ec. Dif. no-homogénea de coef. constantes : Se propone sol. particular: Ec. Homogénea asociada: Derivando dos veces: Polinomio característico: Substituyendo en la ec. original y resolviendo para las constantes ABC: Por ecuación de Euler:

ECS. DIF. LINEALES DE ORDEN SUPERIOR : Homogénea:

Ejemplo: Polinomio característico: Sacando raíces: Solución:

Cada par de raíces complejo conjugadas DIFERENTES : Genera un par de funciones linealmente independientes:

N funciones “y” son linealmente independientes si :

Ejemplo:

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Variación de Parámetros Variación de parámetros es otro método para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial de orden n: Si y1(x), y2(x),..., yn(x) son soluciones n-linealmente independientes de la ecuación homogénea entonces la solución complementaria está dada por: Métodos Matemáticos - INAOE

(Recordar brevemente el método ya visto de “Variación de Parámetros” para el caso de 1er. Orden)

METODO DE VARIACION DE PARAMETROS EN LA SOLUCION DE ECS. DIF METODO DE VARIACION DE PARAMETROS EN LA SOLUCION DE ECS. DIF. LINEAL NO-HOMOGENEA Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada La solución particular proviene de la forma de f(x)

METODO DE VARIACION DE PARAMETROS (AHORA PARA ORDEN “n”) Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada La solución particular proviene de la forma de f(x)

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Variación de Parámetros Una solución particular de L(y) = f(x) tiene la forma: donde yi = yi(x) (i = 1,2,..., n) fueron obtenidas a partir de la homogénea asociada, vi (i = 1,2,..., n) son las funciones por determinar. Para hallar vi, Hay que solucionar primero simultáneamente las siguientes ecuaciones lineales vi’ para : Y entonces se integra cada uno para obtener vi, despreciando todas las constantes de integración, lo cual se permite porque solo buscamos solamente una solución particular Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Solucionar: Métodos Matemáticos - INAOE

Ejemplo: Resolver por variación de parámetros la sig. ec.

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Ecuaciones Homogeneas: ejemplos Solucionar: Cuya ecuación característica es: Métodos Matemáticos - INAOE