TELECOMUNICACIONES 1

Sesion07: Modulación Angular

LOGROS DE LA SESIÓN Al término de la sesión, el estudiante conoce el concepto de modulación FM y el proceso de modular una señal y sus usos en los sistemas de comunicaciones actuales

CONTENIDO Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea. Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia (FM). Determinación de la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia. Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. Espectro de frecuencia de una señal modulada en frecuencia. Potencia asociada a una señal con modulación de ángulo.

FRECUENCIA DE UNA SEÑAL PERIÓDICA Y FRECUENCIA INSTANTÁNEA Una señal periódica es aquella que se repite cada T segundos. Por ejemplo, se puede representar por la expresión: La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular (w).

JUSTIFICACIÓN DEL USO DE LA MODULACIÓN DE FRECUENCIA En la modulación AM la información se coloca en la amplitud de la señal portadora. Esto es un inconveniente a la hora de recuperar la información pues la misma se contamina fácilmente con el ruido que se agrega en la amplitud. Ante este es posible hacer varia la frecuencia de la señal y mantener constante la amplitud, dando origen a la FM.

MODULACIÓN DE FASE Y MODULACIÓN DE FRECUENCIA Sea la ecuación: Si en la ecuación anterior se considera que el ángulo de fase no es constante sino que puede ser considerado como una función del tiempo, se tiene: Al hacer variar φ(t) en esta ecuación, se tendrá una dependencia del tiempo “t” de la fase de la ecuación. Se tiene en este caso una señal modulada en ángulo.

MODULACIÓN DE FASE Y MODULACIÓN DE FRECUENCIA Consideremos la ecuación: donde kp es constante y m(t) es la modulante, entonces la señal modulada es: g PM (t) Esta ecuación representa una señal modulada en fase y se denota como g PM (t) Fase de la señal

MODULACIÓN DE FASE Y MODULACIÓN DE FRECUENCIA El índice de modulación de la señal modulada en fase se puede determinar como: g PM (t) k P El índice de modulación representa la máxima desviación de fase que puede darse a la función g PM (t) y está dado por el valor máximo de la amplitud de la modulante por la constante k P

MODULACIÓN DE FASE Y MODULACIÓN DE FRECUENCIA Considere ahora que  (t) está dado como la integral de la función m(t), entonces se tiene: Como vimos previamente: Si se remplaza por la ecuación previa, se tiene: g FM (t) Esta ecuación representa la señal modulada en frecuencia y se denota por g FM (t)

MODULACIÓN DE FASE Y MODULACIÓN DE FRECUENCIA El índice de modulación de la señal modulada en frecuencia se determina por: k f El índice de modulación está dado por el máximo valor positivo de la integral de la modulante por el factor de escala k f

MODULACIÓN DE FASE Y MODULACIÓN DE FRECUENCIA En resumen, se tiene que las ecuaciones que definen las técnicas de modulación angular y su índice de modulación son: TécnicaEcuación Índice de Modulación MODULACIÓN EN FASE MODULACIÓN EN FRECUENCIA

EJERCICIO DE FM Una señal modulada en FM esta dada por :Y(t) = 100 cos( 2π* 10 8 t + 20 sen 2π*10 3 t), determine: a) La frecuencia de la portadora sin modular b) la frecuencia moduladora en Hertz c) índice de modulación β d) La máxima desviación de frecuencia en Hz. e) La potencia de la señal disipada en una resistencia de 50 ohmios.

FRECUENCIA INSTANTÁNEA PARA UNA SEÑAL MODULADA EN FASE Y EN FRECUENCIA Considérese la ecuación: Si se toma que  (t)=wct +  (t), se tiene: La frecuencia instantánea de la ecuación anterior, se define como: Esta ecuación expresa que la frecuencia instantánea es igual a la variación respecto al tiempo del ángulo de la función

FRECUENCIA INSTANTÁNEA PARA UNA SEÑAL MODULADA EN FASE Y EN FRECUENCIA Aplicando este criterio a la modulación en fase se tiene: Esta ecuación permite determinar la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase

Cuando la modulante va de – a + su derivada es positiva, siendo la frecuencia máxima. Cuando la modulante va de + a - su derivada es negativa, siendo la frecuencia mínima. Representación gráfica de una señal modulada en FASE. FRECUENCIA INSTANTÁNEA PARA UNA SEÑAL MODULADA EN FASE Y EN FRECUENCIA

De igual forma para la modulación en frecuencia se tiene: Esta ecuación permite determinar la frecuencia instantánea para una señal modulada en frecuencia.

Cuando la modulante tiene su máximo “+” su frecuencia es máxima. Cuando la modulante tiene su máximo “-” su frecuencia es mínima. Representación gráfica de una señal modulada en FRECUENCIA FRECUENCIA INSTANTÁNEA PARA UNA SEÑAL MODULADA EN FASE Y EN FRECUENCIA

Conclusión: Al comparar las dos ecuaciones se establece que en la modulación de fase, la frecuencia instantánea varía linealmente con la derivada de la señal modulante, mientras que en la modulación en frecuencia, la frecuencia instantánea varía linealmente con la señal modulante. Modulación de Fase Modulación de Frecuencia

ANÁLISIS DE UNA SEÑAL MODULADA EN FASE Y EN FRECUENCIA CON MODULANTE SENUSOIDAL Hasta ahora, el análisis matemático para la modulación en fase y en frecuencia se ha realizado en función de una señal modulante genérica, llamada : Se considerará a continuación para el análisis, una señal particular y a través de ella, realizar el análisis espectral correspondiente que permita tener una clara idea de cómo se presenta el espectro de la señal modulada en fase y en frecuencia.

ANÁLISIS DE UNA SEÑAL MODULADA EN FASE Y EN FRECUENCIA CON MODULANTE SENUSOIDAL Considérese, que la señal modulante es: Reemplazando por la modulante dada, se tiene: Como: : Entonces reemplazando, se tiene : Ecuación de PM cuando la modulante es una onda senusoidal

ANÁLISIS DE UNA SEÑAL MODULADA EN FASE Y EN FRECUENCIA CON MODULANTE SENUSOIDAL Considérese, que la señal modulante es: Reemplazando la modulante, tiene: Como: Al resolver la integral se tiene:

ANÁLISIS DE UNA SEÑAL MODULADA EN FASE Y EN FRECUENCIA CON MODULANTE SENUSOIDAL  m Ya que el máximo valor de  m es: La expresión final es: Ecuación de FM cuando la modulante es una señal senusoidal

ÍNDICE DE MODULACIÓN PARA MODULACIÓN EN FASE Y EN FRECUENCIA CON MODULANTE SENUSOIDAL Según se vió, la frecuencia instantánea de una señal modulada está dada por: Si consideramos como modulante la señal: entonces:

ÍNDICE DE MODULACIÓN PARA MODULACIÓN EN FASE Y EN FRECUENCIA CON MODULANTE SENUSOIDAL Factorizando, se tiene: k f m 0 El valor máximo que puede tomar el miembro derecho de la ecuación, es k f m 0, por tanto: Sea,y como Integrando se tiene: (Ec. 1)

ÍNDICE DE MODULACIÓN PARA MODULACIÓN EN FASE Y EN FRECUENCIA CON MODULANTE SENUSOIDAL Reemplazando en la Ec. 1, se tiene: La ecuación anterior permite determinar la desviación de frecuencia angular de la señal modulada en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. Representa el índice de modulación para FM Finalmente:

MODULACIÓN DE FRECUENCIA DE BANDA ANCHA: WBFM Teoría de las Funciones de BESSEL Normalmente para trabajar con las funciones de Bessel no hay que hacer todos los engorrosos cálculos. Al contrario, es muy simple empleando las tablas ya calculadas, llamadas TABLAS DE BESSEL. Propiedades de las funciones de BESSEL: ElementoDescripción Son de valor real Para n PAR Para n IMPAR Friedrich Wilhelm Bessel

GENERACIÓN DE SEÑALES MODULADAS EN ANGULO Funciones de Bessel para valores de n = 0 a n = 15 FUNCIÓN DE BESSEL Portadora ORDEN DE LA FUNCIÓN J0J1J2J3J4J5J6J7J8J9J10J11J12J13J14J15 01,00~~~~~~~~~~~~~~~ 0,11,000,05~~~~~~~~~~~~~~ 0,20,990,10~~~~~~~~~~~~~~ 0,250,980,120,01~~~~~~~~~~~~~ 0,50,940,240,03~~~~~~~~~~~~~ 0,750,860,350,070,01~~~~~~~~~~~~ 10,770,440,110,02~~~~~~~~~~~~ 1,50,510,560,230,060,01~~~~~~~~~~~ 20,220,580,350,130,030,01~~~~~~~~~~ 2,40,000,520,430,200,060,02~~~~~~~~~~ 3-0,260,340,490,310,130,040,01~~~~~~~~~ 4-0,40-0,070,360,430,280,130,050,02~~~~~~~~ 5-0,18-0,330,050,360,390,260,130,050,020,01~~~~~~ 60,15-0,28-0,240,110,36 0,250,130,060,020,01~~~~~ 70,300,00-0,30-0,170,160,350,340,230,130,060,020,01~~~~ 80,170,23-0,11-0,29-0,110,190,340,320,220,130,060,030,01~~~ 9-0,090,250,14-0,18-0,27-0,060,200,330,310,210,120,060,030,01~~ 10-0,250,040,250,06-0,22-0,23-0,010,220,320,290,210,120,060,030,01~ 11-0,17-0,180,140,23-0,02-0,24-0,200,020,220,310,280,200,120,060,030,01 120,05-0,22-0,080,200,18-0,07-0,24-0,170,050,230,300,270,200,120,070,03 130,21-0,07-0,220,000,220,13-0,12-0,24-0,140,070,230,290,260,190,120,07 140,170,13-0,15-0,180,080,220,08-0,15-0,23-0,110,090,240,290,250,190, ,010,210,04-0,19-0,120,130,210,03-0,17-0,22-0,090,100,240,280,250,18 Representa la Portadora de la señal Modulada Para este índice de modulación la portadora se hace CERO ! Desde J1 Hasta J15 representan las bandas laterales Índice de Modulación A mayor índice de Modulación, mayor numero de Bandas Laterales

TALLER DE FM 1.Una señal de FM tiene una desviación de frecuencia de 3 Khz y una frecuencia moduladora de un 1Khz. Su potencia total es de 5 Kw, desarrollada a través de una carga resistiva de 50 ohmios. La frecuencia de la portadorta es de 160 Mhz. a.Calcule el voltaje RMS de la señal b.Calcule el voltaje RMS a la frecuencia de la portadora a cada una de las tres primeras bandas laterales. c.Para las tres primeras bandas laterales, calcule la frecuencia de cada banda lateral.

Sea y Ec. 51 Considerando la ortogonalidad de la función coseno, el valor cuadrático medio de la suma es igual a la suma de los valores cuadráticos medios, por lo cual: pero

POTENCIA PROMEDIO DE SEÑALES MODULADAS EN ÁNGULO Obteniendo finalmente que: El valor cuadrático medio de cada banda lateral es: El valor cuadrático medio es igual a la potencia promedio si se considera como resistencia R = 1 Ohm. Las bandas laterales o la portadora se pueden hacer tan pequeñas como se desee eligiendo el índice de modulación  apropiado.

TALLER DE FM d. Calcule la potencia de la a la frecuencia de la portadora y a cada una de las frecuencias de bandas laterales determinadas en el literal c e. Determine que porcentaje de la potencia de señal total representan los componentes descritos anteriormente. f. Trace la señal en el dominio de la frecuencia, como se veria en el analizador de espectro. La escala vertical debe ser la potencia en dBm y la escala horizontal la frecuencia.

ESTIMACIÓN DE POTENCIA EN PORTADORA Y LAS BANDAS LATERALES Análisis espectral para una señal modulada en frecuencia para diferentes índices de modulación.

EJERCICIO EN GRUPO Un transmisor FM se modula con una sinoide simple. La salida sin modular es de 100 W en una carga resistiva de 50 ohmios. Cuidadosamenete se aumenta, desde cero, la desviación de frecuencia pico hasta que la amplitud de la primera banda lateral a la salida es cero. Bajo estas condiciones, determinar a)la potencia media en la frecuencia portadora; b)la potencia media en las restantes bandas laterales c) la potencia media en las bandas laterales de segundo orden.

MUCHAS GRACIAS!!! por su atención…