Unidad 4 Anexo 3. Capítulo IV. Teoría de las ecuaciones homogéneas.

U-4.A-3. Cap. IV. Ecuaciones homogéneas: Teoría. De acuerdo con el siguiente teorema, el principio de superposición para ecuaciones lineales homogéneas de 2° orden es aplicable a las de cualquier orden; es decir: i) si una función es una solución de una ecuación lineal homogénea, un múltiplo constante de dicha solución también lo es y ii) si dos funciones son soluciones de una ecuación lineal homogénea, su suma también es una solución de la ecuación diferencial.

entonces la combinación lineal: U-4.A-3. Cap. IV. Ecuaciones homogéneas: Teoría. Principio de superposición: Si y1, y2¸ . . . , yn son n soluciones de una ecuación lineal homogénea: entonces la combinación lineal: donde C1, C2, . . . , Cn son constantes arbitrarias, también es una solución de esta ecuación. Este principio aplica solamente a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

U-4.A-3. Cap. IV. Ecuaciones homogéneas: Teoría. La identidad de Abel también aplica a ecuaciones lineales homogéneas de orden superior y puede generalizarse de acuerdo con el siguiente teorema: Identidad de Abel: Considere la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n: con coeficientes continuos en el intervalo x1 < x < x2, y sean y1, y2, . . . , yn sus n soluciones en el intervalo. Entonces el wronskiano de y1, y2, . . . , yn o es siempre cero o nunca es cero.

U-4.A-3. Cap. IV. Ecuaciones homogéneas: Teoría. El wronskiano de las n soluciones de una ecuación lineal homogénea de orden n con coeficientes continuos puede expresarse en la forma: y el teorema indica que no puede ser cero para algunas x y no cero para otras, cuando los coeficientes P1, P2, . . . de la ecuación lineal homogénea son continuos. Si W(y1, y2, … , yn ) ≠ 0 en x0, entonces lo es para toda x, por lo que las funciones y1, y2, . . . , yn son linealmente independientes en ese intervalo.

La ecuación lineal homogénea de orden n: U-4.A-3. Cap. IV. Ecuaciones homogéneas: Teoría. Así, puede establecerse el teorema fundamental de la ecuación general lineal homogénea en la forma: La ecuación lineal homogénea de orden n: con coeficientes continuos en un intervalo x1 < x < x2 tiene n soluciones linealmente independientes en ese intervalo. La solución general de esta ecuación diferencial puede expresarse en forma única como la combinación lineal de las n soluciones en la forma:

U-4.A-3. Cap. IV. Ecuaciones homogéneas: Teoría. La expresión y = C1y1 + C2y2 + ··· +Cnyn contiene todas las soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo específico. El conjunto {y1, y2, . . . , yn} se conoce como conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo. El teorema asegura la existencia de n soluciones y que sólo n soluciones pueden ser linealmente independientes. Entonces, resolver una ecuación lineal homogénea de orden n es equivalente a encontrar sus n soluciones linealmente independientes.