Tema 8 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT CÁLCULO DE LÍMITES Tema 8.7bis2 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Límites con radicales Al hallar el limite en un punto ya hemos visto que a veces nos resultan indeterminaciones de la forma [0/0]. Sin embargo en ocasiones no podemos factorizar numerador y denominador al no ser éstos polinomios. El método que procede en esos casos es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión que contenga los radicales, a semejanza de cuando tenemos que racionalizar denominadores. Y por último se factorizan los polinomios que se obtenga. Ejemplo 1 √x – 1 (√x – 1).(√x + 1) (x – 1) 1 lím ‑‑‑‑‑‑‑----- = lim --------------------- = lím -------------------- = ---- x1 x – 1 x1 (x – 1).(√x +1) x1 (x – 1).(√x +1) 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 √ (x – 2) – 1 √ (3 – 2) – 1 1 – 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑---------- = --------------------- = ----------- = [-----] x3 x – 3 3 – 3 3 – 3 0 Multiplicamos y dividimos por el conjugado: (√ (x – 2) – 1).(√ (x – 2) + 1) x – 2 – 1 lím ‑‑‑‑‑‑‑------------------------------- = lím ---------------------------- = x3 (x – 3).(√ (x – 2) + 1) x  3 (x – 3).(√ (x – 2) + 1) (x – 3) 1 = lím ‑‑‑‑‑‑‑---------------------- = -------------------- = 1 / 2 x3 (x – 3).(√ (x – 2) + 1) √ (3 – 2) + 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 3 √x – 2 √4 – 2 2 – 2 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑------------ = --------------- = ---------- = [-----] x4 √(x – 3) – 1 √(4 – 3) – 1 1 – 1 0 Multiplicamos y dividimos por el conjugado: (√x – 2).(√x + 2). (√ (x – 3) + 1) lím ‑‑‑‑‑‑‑---------------------------------------------- = x4 (√x + 2). (√ (x – 3) – 1). (√ (x – 3) + 1) (x – 4). (√ (x – 3) + 1) √ (4 – 3) + 1 1+1 lím ‑‑‑‑‑‑‑---------------------- = ------------------- = ------ = 2 / 4 = 1 / 2 x4 (√x + 2). (x – 4) √4 + 2 2+2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Límites por cambio de variable Al hallar el limite en un punto, a veces nos resultan indeterminaciones de la forma [0/0], pero no podemos factorizar numerador y denominador al no ser éstos polinomios. Procede realizar un cambio de variable: n Si en la función hay un radical del tipo √x , el cambio de variable será: x = tn Si en la función hay un radical del tipo √(x – a) , el cambio de variable será: x – a = tn n m Si en la función hay un radical del tipo √x y √x , el cambio de variable será: x = tMCM(n,m) Y tras el cambio de variable se factorizan los polinomios que se obtenga. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 √(x-2) - 1 √3-2) – 1 1 – 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑---------- = --------------------- = ----------- = [-----] x3 x – 3 3 – 3 3 – 3 0 Cambio de variable: x – 2 = t2  x = t2 + 2 √(t2 + 2 -2) - 1 √ t2 – 1 t – 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑--------------- = lím --------------- = lim ------------- = [-----] t1 t2 + 2 – 3 t  1 t2 – 1 t1 t2 – 1 0 t – 1 1 1 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = lím --------------- = ------ = 1/2 = 0,5 t1 ( t + 1 ).( t – 1 ) t1 t + 1 1+1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 3 √x – √x 1 – 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑---------- = ----------- = [-----] x1 4 1 - √x 1 – 1 0 Cambio de variable: x = t12, pues 12 = mcm (2,3 y 4). √ t12 – √ t12 t4 – t6 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = lím ----------- = [-------] que ahora se puede t1 4 t1 1 - t3 0 factorizar. 1 - √ t12 – t4 (t2 – 1) – t4 (t – 1)(t + 1) t4 (t + 1) 1.(1+1) lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = ------------------------------ = ------------------ = ---------- = t1 – (t3 – 1) – (t – 1) .(t2 + t + 1) (t2 + t + 1) 1+1+1 = 2 / 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Indeterminada [1oo] Sabemos que 1k = 1 siempre. Sabemos que koo = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con 1oo , no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [1oo ] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello sabemos que siempre el resultado va a ser eλ , con lo cual sólo queda calcular λ λ = Lím ( base – 1 ). exponente xa Y el límite sería, si le hay : L = eλ @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT El número e Sea la sucesión n 1 1 + ---- , donde n es un número natural Para n = 1 , el término de la sucesión vale: (1+1)1 = 2 Para n = 2 , el término de la sucesión vale: (1+0,5)2 = 2,25 Para n = 3 , el término de la sucesión vale: (1+0,3333)3 = 2,37 Para n = 4 , el término de la sucesión vale: (1+0,25)4 = 2,4414 ………. Para n = 100 , el término de la sucesión vale: (1+0,01)100 = 2,7048 …….. Para n = 1000 , el término de la sucesión vale: (1+0,001)1000 = 2,7169 Vemos que n aumenta mucho, pero el término muy poco. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT El número e Sea la sucesión n 1 1 + ---- , donde n es un número natural Si hallamos su limite en el infinito: 1 n oo λ 1 n L = lím ( 1 + --- ) = 1 = e , donde λ = lím (1 + ---- – 1).n = --- = 1 noo n n  oo n n λ 1 Luego L = e = e = e @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

El número e en las funciones @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Ejemplos 1-2-3 (Siempre xoo y sólo si [1oo]) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Ejemplos 4-5-6 (Siempre xoo y sólo si [1oo]) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Otra forma de cálculo Ejemplo 7: 3 / (x-1) 3 / 0 x + 1 2 λ lím ------‑‑ = ‑--- = [1oo ] = Indeterminación = e x1 2 2 λ = lím (base – 1 ). Exp x + 1 3 (x + 1 - 2).3 (x-1).3 λ = lím ( --------- - 1 ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím ---------------- = --------- = 3/2 x1 2 x - 1 2 ( x - 1) (x -1).2 3/2 L = e @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 8: (x2-1) /x [oo / oo] x + 1 oo λ lím ------‑‑ = ----- = … = [1oo ] = Indet = e xoo x oo λ = lím (base – 1 ). exp x + 1 (x2-1) x2 - 1 oo λ = lím ( -------- - 1 ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím ------------- = [------ ] = … = 1 xoo x x x2 oo 1 L = e = e Hay que resolver las indet. [oo/oo]. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT