Apuntes 1º Bachillerato CT

Presentación del tema: "Apuntes 1º Bachillerato CT"— Transcripción de la presentación:

1 Apuntes 1º Bachillerato CT
DERIVADAS Tema 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

2 Apuntes 1º Bachillerato CT
TASAS DE VARIACIÓN Tema * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

3 TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = b - a Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. b – a es la variación o incremento de x, Δx. f(b) – f(a) es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy. TVM = Δy / Δx = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)). @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

4 Incremento de una función (1)
Sea la función f(x) = x  Verde Sea la función g(x) = x2  Rojo Ambas funciones presentan el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 4 Δy = g(2) – g(0) = 22 – 0 = 4 Sin embargo g(x) ha crecido mucho más deprisa que f(x), su crecimiento medio es mayor: TVM de f(x): TVM = Δy / Δx = 4 / 4 = 1 TVM de g(x): TVM = Δy / Δx = 4 / 2 = 2 Su crecimiento medio es el doble. y 4 a= b=4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

5 Incremento de una función (2)
Sea la función f(x) = x / 2 Verde Sea la función g(x) = x2/ 8  Rojo Sea la función h(x) = √x  Azul Ambas funciones presentan en el intervalo cerrado [0, 4] el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 2 Δy = g(4) – g(0) = 2 Δy = h(4) – h(0) = 2 Las TVM de ambas son: TVM = Δy / Δx = 4 / 4 = 1 Sin embargo está muy claro que su comportamiento en dicho intervalo en muy diferente. y f(4)=g(4)=h(4)=2 a= b=4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

6 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejercicio Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [-4,-2], [0,2] y [-1, 1] En [-4,-2] f (- 4) - f(-2) TVM = = = 24 - 4 – (-2) En [0, 2] f (2) – f (0) TVM = = = 0 2 – En [-1, 1] f (1) – f (-1) TVM = = = - 3 1 – (-1) y=f(x) x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

7 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA
Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama: Tasa de variación INSTANTÁNEA de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños: f (a + h) – f (a) TVI = lím h  h h es el incremento de la variable x y 2 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 a= x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

8 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA
y 2 Ejemplo En las proximidades de a=0 (0+h)/2 – 0/2 TVI [f(x)]= lim = ½ h h (0+h)2/2 – 02/2 TVI [g(x)]= lim = h = 0 h h √(0+h) – √0 TVI [g(x)]= lim = √h √h √h = lim = lim =---- = --- = oo h0 h h0 h. √h √h h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 a= x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

9 SENTIDO GEOMÉTRICO DE LA TVI
f(a)=f(b) f(d) f(c) TVI(a)=1 TVI(b)= – 1 TVI(d)=0,8 TVI(c)=0,2 a b c d t @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT