GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Presentación del tema: "GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA"— Transcripción de la presentación:

1 GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
TEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

2 Apuntes 1º Bachillerato CT
TEMA * 1º BCT ECUACIÓN GENERAL @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

3 Apuntes 1º Bachillerato CT
ECUACIÓN CONTINUA La ecuación paramétrica de una recta hemos visto que es: x = xo + t.a y = yo + t.b Si en ambas expresiones despejamos el parámetro t , resulta: x – xo = t.a  (x – xo ) / a = t y – yo = t.b  (y – yo ) / b = t Como el valor del parámetro t debe ser el mismo para cada punto de la recta, podemos igualarlo: x - xo y - yo t = t  = , siempre que a<>0 y b<>0 a b Que es la ecuación continua de la recta. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

4 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo_1 Una recta r viene dada por su ecuación vectorial: (x, y) = (0, 2) + t.(- 3, 5) Hallar su ecuación continua. Tenemos: (x, y) = (0, 2) + t.(- 3, 5) Desglosando las coordenadas del vector: x = 0 – 3.t ,, y = t Despejando el parámetro t en ambas expresiones, resulta: x – y – 2 t = , t = Igualando el valor de t, queda: x / (– 3) = (y – 2) / 5 Ejemplo_2 Una recta r viene dada de la forma r(A, u), donde A(3, 4) y u=(6, 8). Su ecuación vectorial será: (x, y) = (3, 4) + t.(6, 8) Desglosando las coordenadas del vector: x=3 + 6.t ,, y=4 + 8.t t= (x – 3) / 6 y t=(y – 4) / 8 Igualando el valor de t, tenemos: (x – 3) / 6 = (y – 4) / 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

5 Apuntes 1º Bachillerato CT
ECUACIÓN GENERAL ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA Partimos de la ecuación continua de la recta: x - xo y - yo = a b Como en toda proporción, podemos multiplicar en cruz, quedando: b.(x – xo) = a.(y - yo) b.x – b.xo = a.y – a.yo b.x – a.y – b.xo + a.yo = 0 Renombrando coeficientes queda: r: A.x + B.y + C = 0 Que es la ecuación general o ecuación implícita de la recta. Donde A=b, B= - a y C= – b.xo + a.yo Como un vector director era v=(a,b), ahora será v=(-B, A) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

6 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 1 Hallar la ecuación general de una recta si su ecuación continua es: x y + 2 = Operando en la proporción: (x – 3) = 2.(y + 2) - 5.x + 15 = 2.y + 4  x – 2.y + 15 – 4 = 0  5.x + 2.y – 11 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación general de una recta si pasa por el punto A(- 2, - 4) y un vector director es v=(3, 2) Tomando la ecuación continua y sustituyendo: x - xo y – yo x – (- 2) y – (- 4) = ; = a b Operando en la proporción: (x +2) = 3.(y + 4) 2.x + 4 = 3.y  2.x – 3.y + 4 – 12 = 0  2.x – 3.y – 8 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

7 Apuntes 1º Bachillerato CT
TEMA * 1º BCT ECUACIÓN NORMAL @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

8 Apuntes 1º Bachillerato CT
ECUACIÓN SEGMENTADA ECUACIÓN SEGMENTADA DE UNA RECTA Sea P(p, 0) el corte de una recta con el eje de abscisas y Q(0, q) el corte de la misma recta con el eje de ordenadas. La ecuación continua de la recta será: x – p y – 0 r  = 0 – p q – 0 Operando: q.x – p.q = – p.y q.x + p.y = p.q Dividiendo todo entre el producto p.q x y r  = 1 p q y Q(0, q) q r P(p, 0) p x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

9 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 1 Sea la recta de ecuación 5.x + 4.y – 20 = 0 Halla la forma segmentada de su ecuación y represéntala. Tengo: x + 4.y – 20 = 0 Opero: x + 4.y = 20 Divido todo entre 20: 5.x y r  = Queda: x y r  = 1 Donde 4 y 5 son los segmentos que determina al cortar a los ejes de abscisas y ordenadas. y Q(0, 5) 5 r P(4, 0) x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

10 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 2 Sea la recta de ecuación 5.x – 3.y + 15 = 0 Halla la forma segmentada de su ecuación y represéntala. Tengo: x – 3.y + 15 = 0 Opero: x – 3.y = – 15 Divido todo entre – 15: 5.x – 3.y – 15 r  = – – – 15 Queda: x y r  = 1 Donde – 3 y 5 son los segmentos que determina al cortar a los ejes. y Q(0, 5) 5 r P(- 3, 0) x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

11 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 3 Sea la recta de ecuación: 2.x + 3.y + 18 = 0 Halla la forma segmentada de su ecuación y represéntala. Tengo: x + 3.y + 18 = 0 Opero: x + 3.y = – 18 Divido todo entre – 18: 2.x y – 18 r  = – – – 18 Queda: x y r  = 1 Donde – 9 y – 6 son los segmentos que determina al cortar a los ejes. y P(- 9, 0) x r -6 Q(0, -6) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

12 Apuntes 1º Bachillerato CT
ECUACIÓN NORMAL VECTOR PERPENDICULAR A UNA RECTA Sea la recta de ecuación Ax + By + C = 0 El vector director de dicha recta es u = (-B, A) Un vector v perpendicular a dicha recta será aquel cuyo producto escalar con u de cero. Operando: u.v = -B.A+A.B = 0 Luego un vector perpendicular a la recta es v(A, B) Ejemplo: Sea r: 4x – 5y + 7 = 0 El vector director es: u(5, 4) Un vector perpendicular será: v(-4, 5) Pues u.v = (5,4).(-4,5) = = 0 y r v u P(x,y) x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

13 Apuntes 1º Bachillerato CT
ECUACIÓN NORMAL Sea la recta de ecuación Ax + By + C = 0 Sea un vector perpendicular v(A, B) Sea un punto cualquiera de r, Q(a,b) Sea un punto general de r, P(x,y) Tenemos: v.PQ = 0 Por ser v y PQ vectores perpendiculares. (A, B).(x – a, y – b) =0 A(x – a)+B(y – b) = 0 Que es la ecuación normal de la recta. Si se desarrolla queda: Ax + By – Aa – Bb = 0 Dividido entre el módulo de v queda: A B C r: x y = 0 √(A2+B2) √(A2+B2) √(A2+B2) y r P(x,y) v u P(a,b) x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

14 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 1 Hallar la ecuación normal y la normal canónica de r: 3x – 4y + 8 = 0 Un punto de la recta es el Q(0, 2) y un vector perpendicular v(3, -4) 3(x – 0)+(-4)(y – 2) = 0  3x – 4(y – 2) = 0 Que es la ecuación normal de la recta. El módulo del vector v es: √(A2+B2) = √(9+16) = 5 r: x – y = 0 , r: 0’6x – 0’8y + 1’3 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación normal y la normal canónica de r: 8x + 6y – 10 = 0 Un punto de la recta es el Q(-1, 3) y un vector perpendicular v(8, 6) 8(x + 1) + 6(y – 3) = 0 El módulo del vector v es: √(A2+B2) = √(64+36) = 10 r: x y – = 0 , r: 0’8x + 0’6y – 1 = 0 que es la canónica. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT