Detectando Cuerpos Extraños Inmersos en un Torrente Carlos Conca Rosende Departamento de Ingeniería Matemática y CMM, UMR 2071 CNRS-UChile Universidad de Chile 16 de Mayo de 2007 Charlas en la Academia Chilena de Ciencias Los Miércoles en la Academia

Problema Modelo

Restricciones Geométricas (Sólidos Admisibles) D al interior de Ω D convexo Complemento de D conexo Borde de D “suave”

¿Qué es un Problema o Modelo Inverso? ax b = x = - + Þ a [ ] 1 x 2 + bx + c = Þ x = - b ± b 2 - 4 c 1 , 2 2

Problema Inverso: Caso Lineal = Þ = - ax + b x ax + b = Þ b - ax =

Problema Inverso con 1 Medición (x1) [ ] 1 [ ] x = - b + b 2 - 4 c Þ c = - x x + b 1 2 1 1 1 [ ] [ ] 1 x 2 c + x = - b + b 2 - 4 c Þ b = - 1 1 2 x 1

Problema Inverso con 2 Mediciones (x1, x2) ] 1 [ x = - b + b 2 - c 4 1 2 [ ] 1 x = - b  b 2 - 4 c 2 2 Luego, ) ( x x c x x b = - + , = × 1 2 1 2

Preguntas Relevantes (I) Sean (V,P) los campos de velocidad y presión que alcanza el fluido en la región Ω, en presencia de un cuerpo rígido D, cuando es estimulado sobre el borde con una velocidad fija w, conocida. Denotaremos por ∑ la presión P del fluido sobre la parte del borde donde se hacen las mediciones (m, en la figura). Ciertamente, ∑ = ∑ (D,w)

Preguntas Relevantes (II) 1. Identificabilidad Se trata de estudiar propiedades de injectividad del mapeo ∑ , en particular, de responder a la pregunta: Si ∑1  ∑2 entonces ¿ es D1  D2 ? 2. Estabilidad Se trata de estudiar propiedades de continuidad de la inversa del mapeo ∑, en particular, Si tenemos dos medidas ∑1 y ∑2, cercanas, entonces ¿ es D1 cercano a D2 ? 3. Reconstrucción Computacional de D, a partir de ∑

Aplicaciones Pareciera ser un campo ilimitado en aplicaciones; se encuentran en todas las ciencias Imágenes médicas (técnicas no invasivas): Tomografía, Espectrografía (ultrasonido), Escaners (resonancia magnética), … Técnicas no-destructivas de evaluación de materiales y piezas de maquinaria, detección de fallas, fisuras (ciencias de los materiales) Problemas de origen industrial: Detección de fuentes de contaminación, prospecciones meteorológicas (Geofísica), … Métodos naturales y artificiales de reconocimiento de imágenes

(Fundador de la Teoría) Elementos de Historia (Fundador de la Teoría) Alberto P. Calderón (1920-09-14–1998-04-16)

Equipo de Investigación Catalina Alvarez (CMM, Universidad de Chile) Luis Friz (Universidad del Bío-Bío; sede Chillán) Otared Kavian (Universidad de Versailles) Rodrigo Lecaros (IM2; doctorando DIM) Jaime Ortega (Universidad del Bío-Bío; sede Chillán)

Experiencias de Laboratorio

Teorema Principal Teorema (Identificabilidad) Sea Ω un región acotada en 2 o 3 dimensiones espaciales, y sean D1, D2, dos cuerpos rígidos admisibles. Denote ∑1 (resp., ∑2) la presión del fluido medida sobre m, en presencia del cuerpo D1 (resp., D2). Luego, Si ∑1 = ∑2 entonces D1=D2

Reconstrucción Numérica de Cuerpos Esféricos y Elipsoidales

Caso de un Cuerpo Esférico

Caso de un Cuerpo Elipsoidal

Generalizaciones Varios cuerpos Régimen no-estacionario, de evolución Colisiones (con el borde, entre cuerpos)

Kiss & Go

Mickey’s Reconstruction