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Publicada porEva Piñeiro Marín Modificado hace 8 años
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Departamento de Ingeniería Matemática y CMM, UMR 2071 CNRS-UChile Universidad de Chile 28 de Septiembre de 2009 Carlos Conca Rosende IX Escuela de Primavera DIM-CMM 28 Septiembre - 9 Octubre 2009 Problemas Inversos en Mecánica de Fluidos
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Detección de un Organismo en Movimiento
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Problema Modelo
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Restricciones Geométricas (Sólidos Admisibles) D al interior de Ω D convexo Complemento de D conexo Borde de D “suave”
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a b xbaxax 0 cbbxcbxbxx4 2 1 0 2 2,1 2 ¿Qué es un Problema o Modelo Inverso?
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x b a baxax 0 bbax ax 0 Problema Inverso: Caso Lineal
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b xx c cbbx 1 1 2 1 4 2 1 cx x b cbbx 2 1 2 1 1 1 4 2 1 Problema Inverso con 1 Medición ( x 1 )
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Luego, 21 21, xxcxx b c bb x 4 2 1 2 2 c bb x 4 2 1 2 1 Problema Inverso con 2 Mediciones ( x 1, x 2 )
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Preguntas Relevantes (I) Sean (v,P) los campos de velocidad y presión que alcanza el fluido en la región Ω, en presencia de un cuerpo rígido D, cuando es estimulado sobre el borde con una velocidad fija w, conocida. Denotaremos por ∑ la presión P del fluido sobre la parte del borde donde se hacen las mediciones ( m, en la figura). Ciertamente, ∑ = ∑ (D,w)
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Preguntas Relevantes (II) 1. Identificabilidad Se trata de estudiar propiedades de injectividad del mapeo ∑, en particular, de responder a la pregunta: Si ∑ 1 ∑ 2 entonces ¿ es D 1 D 2 ? 2. Estabilidad Se trata de estudiar propiedades de continuidad de la inversa del mapeo ∑, en particular, Si tenemos dos medidas ∑ 1 y ∑ 2, cercanas, entonces ¿ es D 1 cercano a D 2 ? 3. Reconstrucción Computacional de D, a partir de ∑
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Aplicaciones Pareciera ser un campo ilimitado en aplicaciones; se encuentran en todas las ciencias Imágenes médicas (técnicas no invasivas): Tomografía, Espectrografía (ultrasonido), Escaners (resonancia magnética), … Técnicas no-destructivas de evaluación de materiales y piezas de maquinaria, detección de fallas, fisuras (ciencias de los materiales) Problemas de origen industrial: Detección de fuentes de contaminación, prospecciones meteorológicas (Geofísica), … Métodos naturales y artificiales de reconocimiento de imágenes
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Esquema del Problema Inverso Contaminación Chuquicamata q*q* Dispersión de PM10 C(q * ) Flujo desconocido C0C0 Medición Estaciones Concentración de PM10 En todo el dominio Este es el problema inverso
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Experiencias de Laboratorio
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Teorema Principal C 2, L. Friz, O. Kavian & J. Ortega, Inverse Problems 21, 2005 Teorema (Identificabilidad) Sea Ω un región acotada en 2 o 3 dimensiones espaciales, y sean D 1, D 2, dos cuerpos rígidos admisibles. Denote ∑ 1 (resp., ∑ 2 ) la presión del fluido medida sobre m, en presencia del cuerpo D 1 (resp., D 2 ). Luego, Si ∑ 1 = ∑ 2 entonces D 1 =D 2
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Reconstrucción Numérica de Cuerpos Esféricos y Elipsoidales
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Caso de un Cuerpo Esférico
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Caso de un Cuerpo Elipsoidal
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Generalizaciones Varios cuerpos Régimen no-estacionario, de evolución Colisiones (con el borde, entre cuerpos)
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Kiss & Go
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Mickey’s Reconstruction
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